含完全数的非线性方程φ(mn)=4φ(m)+7φ(n)+28的解

阿克木·优力达西

（喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844008）

Euler函数φ(n)是数论中一个重要的函数，有着广泛的应用．关于包含Euler函数φ(n)的不定方程整数解，文献[1-5]讨论了形如φ(mn)=k1φ(m)+k2φ(n)的线性方程的可解性；文献[6-11]讨论了形如φ(mn)=k1φ(m)+k2φ(n)+b的非线性方程的可解性．本文讨论包含完全数的方程

的可解性.

引理1[12]229对于任意正整数m与n，若，则.

引理2[12]228对于任意正整数m与n，有，其中：d=g cd(m,n)．

引理3[12]225当m≥3时，φ(m)为偶数．

定理方程（1）有正整数解（m,n）=（15,61），（15,77），（15,122），（15,124），（15,154），（16,61），（16,77）,（16,93）,（16,99）,（20,61）,（20,77）,（20,93）,（20,99）,（24,61）,（24,77）,（30,61）,（30,77）,（5,47）,（8,47）,（10,47）,（12,47）,（5,94）,（15,21）,（15,36）,（15,42）,（24,21）,（30,21）,（12,92）,（15,25）,（15,50）,（20,25）,（30,25）．