不确定条件下的两阶段投资组合问题的逐步对冲算法

陆 媛, 孙 双

(沈阳大学 a. 师范学院, b. 信息学院, 辽宁 沈阳 110044)

投资组合理论一直是现代金融研究的重要方向之一,旨在实现金融资产的有效配置,以实现投资组合收益最大化与风险最小化之间的平衡,具有重要的理论和实践意义[1-3].在投资者分类方面,金融市场主要包括个人投资者和机构投资者.对于不同类型的投资者,理论建模也会有很大差异.

总的来说,大多数关于个人投资者的研究都是假设投资者的决策只与他们自己的风险偏好和市场条件有关.这些问题的建模主要基于Markowitz的投资组合理论,均值-方差理论,它为现代投资组合的优化奠定了基础,但实质上该理论是一个静态的投资决策问题.但在实际的金融市场中,投资主要是一个多阶段或动态的过程.

由Rockafellar等[4]提出的随机变分不等式(SVI)理论的最新发展为处理多阶段随机优化和均衡问题带来了新的思路.Rockafellar等[5]指出对于单调的随机变分不等式问题可以使用逐步对冲算法(PHA)来求解,Zhang[6]讨论了利用逐步对冲算法求解随机两阶段二次游戏模型.数值实验表明,对于随机线性互补(SLC)问题,该算法通常是很有效的.

在本文中,我们研究了两阶段随机投资组合问题.将此问题转化为随机变分不等式问题,然后使用逐步对冲算法找到最优解.

1 问题转化

假设我们把资金W0投资于n个资产上,投入xi到资产i,i=1,…,n.进一步,假设资产i的收益率Ri(每段时间),此收益率在我们做出决定的时候是未知的.现在要讨论的问题是如何以最佳的方式分配资金W0.投资一段时间后我们的总资金为

用一个凹的非减的函数U(W1)表示最大化财富的期望效用函数,则有如下的优化问题:

(1)

定义效用函数U(W)如下:

式中,r>q>0,并且a>0.参数a是在得到投资回报率后必须要支付的数量,如果W>a,q是投资的额外收益W-a的利率,如果W

(2)

式中Q(x,ξ)是问题的最优值.

(3)

把式(3)作为第二个阶段.给定一个随机数据ξ=(ξ1,…,ξn),通过求解相应的优化问题,作出依赖于ξ的最优决策.

将式(3)中的最优值函数Q(x,ξ)代入式(2),得到以下随机优化:

(4)

目标函数是以xi为随机变量的期望值函数

ψ(x,y(ξ))=ξTx+bTy(ξ)-a.

式中,y(ξ)=(y1(ξ),y2(ξ))T,b=(q,-r)T.这是一个两阶段问题,x是第一阶段变量,y(ξ)是第二阶段变量.

2 两阶段随机投资组合问题的SLC转化

设Γn+m是由Ξ到Rn+m的所有“反应函数”组成的希尔伯特空间,定义其上的内积为

式中E代表对ξ的期望值函数.注意到第一阶段决策x(ξ)与ξ无关,称之为不可预知性约束.因此在Γ3空间中的式(4)可以表示成如下的优化问题:

(5)

式中

并且

N∶={z(·)∈Γ3|x(ξ)是常数,∀ξ}.

令δN(z(·))为集合N上的指标函数,则有

(6)

假设

C∩N≠∅,

(7)

则式(6)的最优解存在必要条件是ω∈M∶=N⊥和乘子λi(·),i=1,…,4,使得对于每个ξ∈Ξ,下列KKT条件成立:

0≤η(ξ)⊥A(ξ)η(ξ)+ζ(ξ)≥0.

(8)

式中,

η(ξ)=(x(ξ),y(ξ),λ1(ξ),λ2(ξ),λ3(ξ),λ4(ξ))T,

并且

可以使用式(8)进行求解,我们将在下一节中讨论.

3 两阶段随机投资组合问题的逐步对冲算法

逐步对冲算法(PHA)最初是针对多阶段随机极小化问题[7]而设计的,最近被推广到单调随机变分不等式问题[5]

(9)

式中F是点到集映射.

Spingarn在文献[8]中指出,PHA是Rockaffelar提出的对于集值映射ATNA的迫近点算法的一个特殊形式,当A是一个对称的非奇异矩阵,TN是映射F+NC相对于子空间N的部分逆时,如果F对每个ξ∈Ξ是单调的,则它是最大单调的.对于多阶段凸线性二次随机优化中,如果存在最优解,且可行集为非空时,则逐步对冲算法的收敛速度是线性的.

下面给出两阶段随机投资组合问题的PHA.

不确定条件下两阶段制造商----供应商博弈的PHA.

初始化:令z0(ξ)=0,η0(ξ),ω0(ξ)=0,对于所有的ξ,令k=0.

迭代:

{0≤η(ξ)⊥A(ξ)η(ξ)+ζ(ξ)+r|z(ξ)-zk(ξ)|≥0};

第2步 原始迭代,

令k∶=k+1,重复,直到满足条件为止.

4 结 论

本文研究了不确定条件下的两阶段投资组合模型,将该模型转换为随机互补问题,从而利用逐步对冲算法对其进行求解.