环形倒立摆系统改进遗传算法的LQR控制研究

周 勇

(长江大学工程技术学院 信息工程学院，湖北 荆州 434020)

0 引言

倒立摆系统是一个典型的非线性、不确定、高阶次和快速运动的自然不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和控制策略的理想模型。线性二次型控制器(LQR)由于具有价格低、性能稳定等优点，成为倒立摆系统常用的控制方式，许多学者对其控制策略进行了研究。陈健等[1]证明了加权矩阵Q中各权系数对系统稳定性的作用，张永立等[2]采用变增益LQR方法，实现了直线一级和二级倒立摆的稳定控制。LQR的控制性能主要取决于加权矩阵Q和R的整定，目前Q和R的参数整定大多采用试凑法，但此方法具有较强的主观性，而且实时性较差，使其在工程应用中受到了一定的限制[3-4]。遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是一种高度并行的随机优化方法，具有很好的全局搜索能力和鲁棒性，非常适用于LQR参数的优化整定。然而，遗传算法在参数整定过程中，在解决一些复杂问题时存在着早熟和收敛速度慢等缺陷。针对环形倒立摆的稳定控制问题，本文设计了一种基于改进遗传算法的LQR控制器，结合改进遗传算法优化LQR的加权矩阵Q和R参数，通过系统仿真分析，采用改进遗传算法优化一级环形倒立摆系统，可在一定程度上改善LQR参数选取的不足，实现倒立摆系统的最优控制。

1 环形倒立摆系统模型建立

忽略各种空气阻力、摩擦力和摆杆连接处等不均匀因素后，可将环形一级倒立摆系统抽象为由一个连杆、一个摆杆和一个质量块组成，其坐标系如图1所示，参数设置及含义见表1。表1中，连杆与y轴的夹角为θ1；摆杆与垂直方向的夹角为θ2。

图1 一级环形倒立摆坐标系

表1 环形一级倒立摆参数及含义

倒立摆系统运动模型的建立和分析方法主要有拉格朗日法和牛顿-欧拉法两种方法。根据文献[5]、文献[6]和一些学者的研究，本文采用拉格朗日法建立一级环形倒立摆运动模型如下：

(1)

取平衡位置时，各变量的初始值为0，进行泰勒级数展开，线性化后得到系统状态方程如式(2)和式(3)所示：

(3)

2 基于改进遗传算法的LQR控制器设计

2.1 LQR 控制器原理

LQR控制器是现代控制理论最重要的成果之一，其原理是选择一个状态反馈控制矩阵K，使得目标性能函数J达到最小，从而实现系统的最优控制。

具体过程如下：①选择二次型目标函数J；②选定Q和R，结合系数矩阵A和B,求解Riccati代数方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0，得正定矩阵P；③求最优状态反馈控制矩阵K=R-1BTP，得控制信号u=-Kx。

2.2 基于改进遗传算法的LQR控制器的参数优化

LQR控制器设计的关键问题在于如何选取合适的加权矩阵Q和R，求出反馈控制矩阵K。目前对于加权矩阵的选取主要采用试凑法。遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是美国Holland教授于1975年首先提出来的一种借鉴生物进化理论和门德尔基因遗传理论的高度并行、随机的优化方法[7]。标准遗传算法因为随机搜索的特点，在运算过程中，其交叉率和变异率恒定不变，收敛性能较差。结合文献[8]，本文引入一种改进的遗传算法，使算法的交叉率Pc和变异率Pm按Sigmoid函数和高斯分布函数自适应调整，满足算法在不同进化阶段的侧重，提高算法的全局搜索能力。具体步骤如下：

(1) 选择优化参数及约束条件。本文选取Q对角线元素Q11、Q33和R参数作为优化参数，根据实际要求，取Q∈[0,2 000]，R∈[0,10]。

(2) 编码及种群初始化。采用实数编码，并根据种群规模随机生成初始种群。

(3) 解码，适应度函数确定。在遗传算法优化过程中，适应度函数的确定非常重要，它是判断最优参数的关键。改进遗传算法的适应度函数f=1/J。

(4) 设计遗传算子。本设计采用轮盘赌的选择方法，并对遗传算子进行多点交叉和均匀变异。为了防止遗传算法的早熟和收敛较差的问题出现,采用改进的自适应交叉概率和变异概率,将S曲线和高斯分布曲线的变化模式用于交叉概率和变异概率。改进的交叉率和变异率的自适应调节公式如式(4)、式(5)所示：

(4)

(5)

其中：Pcmax、Pcmin分别为交叉率的最大值和最小值；Pmmax、Pmmin分别为变异率的最大值和最小值；favg为种群的平均个体适应度值；fmax为种群中最大的个体适应度值；f′为要交叉的两个个体中较大的适应度值；k1为曲线平滑参数，用来调节曲线的光滑程度；k2为曲线高度参数。

(5) 终止判断。如达到指标要求(精度10-5或进化代数)，算法结束，否则重新返回步骤(3)。

3 仿真实验及结果分析

为研究一级环形倒立摆系统性能，本文分别采用试凑法和改进遗传算法对LQR参数进行优化仿真分析。

3.1 算法的参数选择

所有算法程序均采用MATLAB语言编制，改进遗传算法参数设置如下：种群规模为50，进化代数为100代，最大交叉率为0.8，最小交叉率为0.6，最大变异率为0.1，最小变异率为0.05，曲线平滑参数为0.990 3，曲线高度参数为0.4。试凑法采用文献[9]参数设置。

3.2 仿真结果分析

基于MATLAB平台，应用MATLAB语句K=lqr(A,B,Q,R)得到一组K值，在经过改进遗传算法优化后，Q与R值分别为Q=diag([1 581.6，0，476，0])，R=0.97。相应的反馈控制矩阵K=[-40.379 6，-22.300 4，317.163 7，51.860 2]，将其应用于一级环形倒立摆系统的仿真，并绘制曲线，与LQR控制器试凑法设计的参数矩阵进行对比，阶跃响应曲线如图2和图3所示。从仿真结果可知：系统自零初始状态，试凑法在前3.5 s内，倒立摆连杆由初始位置0 rad小幅度均匀振荡，摆杆发生较大幅度的振荡后，稳定时间为3.5 s；改进遗传算法优化后，连杆和摆杆的稳定时间分别比试凑法减少了2 s和1.5 s，且超调更小，系统稳定性能得到了较大的提高。

图2 两种优化方法的连杆摆角响应曲线 图3 两种优化方法的摆杆摆角响应曲线

4 结语

本文依据环形一级倒立摆的数学模型和LQR理论，针对LQR存在的问题，设计了基于改进遗传算法的LQR控制器，利用改进遗传算法实现了Q和R的优化选择。通过仿真分析，改进遗传算法优化LQR参数能更有效地减小系统超调和稳定时间，较好地提高了一级环形倒立摆的性能。