复杂周期信号合成的可操作性分析

常伯乐 李伟星

摘 要：信息技术的发展离不开其理论的发展，从模拟信号到数字信号，信息化时代的发展极大地依赖数字信号处理技术的发展。信号的合成是数字信号处理中至关重要的方面。自逻辑电路发展而来的现代信息处理技术可以在计算机中建立各种理论的仿真模型，为科学研究提供了极大便利。信号处理的优劣直接影响研究质量的好坏，不稳定的信号源对试验结果的影响是无法估量的，而数字信号注定了其离散的特性。因此，解决数字信号离散与实际信号连续的矛盾是信号处理中重要的课题，而复杂数字信号的生成又是其中重要的部分。

关键词：数字信号;信号合成;方波信号;傅里叶级数

Abstract： The development of information technology is inseparable from the development of its theory， from analog signals to digital signals， the development of the information age is greatly dependent on the development of digital signal processing technology. The synthesis of signals is an important aspect in digital signal processing. Modern information processing technology developed from logic circuits can establish various theoretical simulation models in computers， which provides great convenience for scientific research. The quality of signal processing directly affects the quality of the research， the influence of unstable signal sources on the test results is inestimable， and digital signals are destined for their discrete characteristics. Therefore， solving the contradiction between discrete digital signals and continuous continuous signals is an important issue in signal processing， and complex digital signal generated is one important part.

Keywords： digital signal;signal synthesis;square wave signal;Fourier series

正弦信号是最基础的信号之一，通过基础信号合成复杂信号，是信号合成的基本方向之一，而其可操作性是本文的主要研究目标。本文首先通过数学方法求解周期信号的傅里叶级数展开式，建立简单信号合成复杂信号的理論模型，以此理论模型为指导，从时域和频域两个方面出发，对方波信号与其傅里叶级数展开式进行模拟仿真试验，探讨合成信号与理想状态的方波信号的相似性。在验证理论和实际的一致性的过程中，寻找影响简单信号合成复杂信号的可操作性的因素。借助数学工具与MATLAB进行研究是本文的试验基础，通过设立试验唯一变量项数[n]控制试验，利用方波信号能较好地表现出信号合成诸多问题这一特性，最终通过试验数据与理论推导寻找问题的优化与解决方案，进而可以评估出信号合成的可操作性。

1 信号合成的数学模型建立

傅里叶分析法是变换域分析法的基石。信号的合成与分解离不开傅里叶级数的计算，将信号转变为对应的函数模型进行分析是研究信号的基本方法之一，因此信号的合成与分解实质上可以视为函数的级数展开[1]。从级数的角度来看，一个复杂的函数可以分解为简单函数的多项式之和，这为信号的合成与分解提供了主要的思路，即傅里叶变换，将信号扩展到频域上来分析，这为简单信号合成复杂信号、复杂信号分解为简单信号提供了明确的方法。通过对信号进行傅里叶变换，人们可以把时域信号变为频域信号，将复杂的信号放在频域上分析。往往在时域上表现复杂的信号，其诸多特性在频域上的表现却更为直观。

任何周期为[T]的函数，在满足Dirichlet条件时，可以展开为傅里叶级数[2]。

Dirichlet条件如下：在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点;在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个;在一周期内，信号是绝对可积的，即

通过式（3）可以得到结论，方波信号可以表示为与其同周期的基波分量与频率为基波频率整数倍的各次谐波分量之和。理想方波信号与其对应合成信号的模型分别建立完毕，在模拟仿真中，若能证明[Ft]等于或约等于[Gt]，则可以证得理想方波信号是可以由[Gt]模型所对应的各次正弦信号叠加合成而来。

2 合成信号与理想信号的时域、频域分析

对理想方波信号[Ft]和其展开式[Gt]进行模拟，可以得到两者在时域中的信号波形，定义理想方波信号周期[T]=7，[A]=1，通过MATLAB得到其理想的函数图像，此图像可以视为理想方波信号的数学模型[4]。根据小节1建立的合成信号模型[Gt]可知，无穷多项叠加才可得到方波信号，因此，暂取方波信号的前四个信号分量，即基波与其后三、五、七次谐波，同时将四个分量带入[Gt]模型中，通过MATLAB生成其信号时域图像[5]，如图1所示。

由圖1能够看出，四个信号分量合成后的信号图像类似于方波信号，增加参与合成的分量，各次谐波所叠加出来的信号有向方波信号靠拢的趋势。因为这里只取了展开式前四个分量进行了合成，因此若参与合成的信号分量足够多，其合成信号将无限接近理想方波信号。为了直观地观察合成信号与原方波信号的相似度，将两信号的时域图像放于同一坐标系中观察，并设合成信号模型[Gt]的项数为[n]，则可以通过增大[n]值来讨论合成信号的变化趋势。将[n]作为变量，分别取值7和50，通过MATLAB进行仿真，如图2、图3所示。

随着[n]值的增大，合成信号的图像越来越趋近于理想方波信号的图像，在[n]=50时已经可以将合成信号近似看作方波信号，其边缘有明显的起伏。这里设项数[n]值为频数，以[n]值为横坐标，取各个项数对应的各次谐波幅值的2倍作为纵坐标，则可以得到合成信号模型[Gt]前[n]项所对应的部分频域的离散频谱图像[6]。

取[n]=100，生成合成信号的频域图像，与理想方波信号频域图像作对比，如图4、图5所示，合成信号的图像与理想方波信号的图像在频域上是一致的。不论是在时域上还是在频域上，理想方波信号[Ft]与合成信号模型[Gt]的特征值都是保持一致的。从时域与频域的模拟仿真结果来看，[Ft=Gt]是成立的，即随着[n]值的增大，合成信号是逐渐逼近理想方波信号的。但是，观察合成信号的跳变点处，总是有高过1的波峰存在，而且随着[n]值的增大而向跳变处靠近。

取[n]=500，观察跳变处震荡的变化趋势。如图6所示，[n]值为500时，合成信号模型[Gt]的基波与各次谐波叠加后的图像可视为方波信号。图7跳变处接近垂直，跳变处震荡的峰高不变，峰宽变窄，可以得到以下结论：[n]值越大，跳变处越接近垂直，其附近高出幅值[A]的波峰高度不变，峰宽变窄，若[n]值趋于无穷，[Gt=Ft]，即G（t）模型的基波与各次谐波分量合成的信号为方波信号[Ft]。

通过观察4个[n]值不同的合成信号的时域图像与频域图像可以看出，随着[n]值的增大，各次谐波的幅度值不断减小，向横坐标轴逼近，[n]值趋于无穷时，合成信号模型[Gt]最终收敛于零。

3 信号合成的可操作性分析

综上所述，用简单周期信号合成复杂或者特殊的周期信号时，[n]值的大小是一个不可避免而又无比重要的问题。在通过正弦信号合成方波信号时，随着[n]值的增大，信号无比接近方波，[n]值在达到无穷之前总是会出现逼近但不相等以及在不连续点处出现一个较高峰值这样的情况[7]。实际操作中，[n]值是无法达到无穷的，也就是说，[n]的取值必然是有限项，则针对上述两种情况的应对策略就成为信号合成质量重要的评定标准。

从仿真中可以看出，[n]值取100时就可以保证合成信号在不连续点处有0.01的精度，在实际操作中，若精度要求不超过0.01，则不连续点处的跳变效果和方波信号将没有区别。在合成信号时可以根据实际情况来调整[n]值，进而调整跳变处的精度，达到实际操作所要求的结果。从模拟仿真结果来看，对于正弦信号合成方波信号时跳变点的精度而言，[n]值取不同的数量级时，精度会相应发生变化。在实际操作中，成本平衡精度与计算量的大小是信号合成的一个重要指标。

另外，在各次谐波叠加后合成的信号中，其与理想方波信号相同的位置（即不连续点处）总是存在多余的起伏情况，从之前的模拟仿真可得：在有限项合成的信号中，随着谐波次数的增加（即[n]值的增大），其多余的起伏的最高波峰逐渐靠近不连续点，也就是说，峰宽对应变窄，但峰值大小基本保持不变，数值约为[[F（x0+）-F（x0-）]×0.09]，这样的吉布斯现象对于合成信号会产生很多影响。产生此现象的主要原因是有限项合成信号的限制，在数字信号合成的过程中，无穷项叠加是无法实现的，换言之，吉布斯现象是无法自然消除的，所有无穷项数字信号的合成不可避免地会出现吉布斯现象[8]。

根据其出现的原因，人们可以探寻一些消除方法，即在合成函数的不连续点的位置补充一个连续函数[9]，或是通过进一步信号合成来把吉布斯现象给抵消掉，比如在不连续点处乘上一个衰弱因子将其影响降至最低[10]。对于数字信号处理来说，消除吉布斯现象是一个不可忽视的问题，如何消除，消除的难易度、消除的效果如何，都是提升合成信号质量的重要评估标准。

4 结论

信号的合成与分解在通信、信息技术等领域有着极其重要的应用，不论是信息的传输还是信息的编码与解码，如何实现更高质量的信号合成与分解是信息科学永远的课题。本文着重研究了比较经典而特殊的周期信号方波信号的合成与分解，从理论上提出模型，借助数学工具进行了细致的模拟仿真试验，在试验中验证了模型与理论的一致性，同时也对有限项的信号合成中暴露的问题进行了细致的探讨，结合实际提出了与之对应的解决方案。信号合成的可操作性主要从两个方面入手：一是如何把握合成信号所产生实际问题的解决成本和信号质量两者的平衡，二是如何消除吉布斯现象。通过[n]值控制两者平衡，灵活应用补充函数与衰弱因子等方法，可以达到良好的实际操作效果。

参考文献：

[1]郑君里，应启珩.信号与系统[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]王天泽.高等数学[M].北京：科学出版社，2015.

[3]张元林.工程数学积分变换[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]邓微.MATLAB函数速查手册[M].北京：人民邮电出版社，2010.

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