基于响应面法和蒙特卡洛法的公路路堑边坡稳定性可靠度分析

闫强 廉向东

摘要：为了研究公路路堑边坡稳定性，分析边坡的稳定状态，文章以某路堑边坡为例，基于可靠度理论，采用响应面法和蒙特卡洛法，对边坡稳定性敏感因素中的粘聚力和内摩擦角两个岩土参数进行了分析。分析结果表明：响应面法和蒙特卡洛法所得可靠度指标存在一定误差，其计算值分别为2.966 4和3.252 6;粘聚力及内摩擦角均值与可靠度指标呈正相关，两者变异系数、相关系数与可靠度指标呈负相关。

关键词：公路路堑;响应面法;稳定性;蒙特卡洛法;可靠度

0 引言

公路路堑边坡的稳定性问题一直备受关注，众多工程研究人员对边坡稳定状态也进行了持续的分析研究，但未能有效解决。陈沛等提出了基于随机响应面法的风化岩质边坡稳定可靠度分析方法[1];邓志平等研究了考虑地层变异性和土体参数空间变异性的边坡可靠度全概率设计方法[2]。这些基于可靠度理论的边坡稳定性分析研究，为边坡稳定状态的判断提供了理论基础，但也存在一定的应用局限性和缺乏足够的实践验证性。

本文以广西某扩建高速公路路堑边坡为工程实例，基于可靠度理論，采用响应面法和蒙特卡洛法分析了边坡的可靠性，提出了边坡的可靠度指标，并研究了相关系数与可靠度之间的关系，为边坡的开挖、施工提供了一定的依据。

1 可靠度分析理论

不确定性存在三种情况：（1）随机性：指因发生条件的不充分、控制条件的不同和发生要素的差异，导致同样过程的不同结果，这类情况一般采用概率论、数理统计或随机过程等理论进行分析;（2）模糊性：指的是未能清晰界定边界的事物，或因评定标准的不明确而导致的不确定性，这类问题可以利用Zadeh的模糊性数学进行分析;（3）知识的不完备性：这类问题尚无成熟的数学方法进行研究，而针对岩土结构的可靠性分析是基于设定的时间里、设定的参数条件下结构所完成的功能特征，采用可靠度进行表征。结构随机变量采用X表示，其功能函数用g（X）表示，其工作状态表达式如下：

随机变量分析和失效概率计算是可靠度分析中的两个关键分析要素。通常情况下，随机变量是影响边坡稳定性的主要因素，因此对边坡的失稳研究可以利用基于随机变量的可靠度分析方法，如响应面法、蒙特卡洛法或FORM法[3-5]。

2 可靠度分析方法

2.1 响应面法

在岩土工程实践中，由于许多大型岩土结构的构造通常均非常庞杂，因此若想获取具有明确表达的函数关系式通常较为困难。而响应面法是将隐式函数用显示函数代替，结构可靠度分析的过程，即利用较少的确定性测试拟合响应面，然后将实际条件下的极限状态曲面用该响应面替换，最后再利用其他方法进行结构的可靠性分析[6-7]。

采用响应面法是将随机变量均值作为初始迭代点，继而计算函数以计算（2n+1）个点估计值，之后再使用这些点来求解方程式（2）中未确定的系数，从而获得极限状态方程。利用传统的可靠性分析方法求解验证点X*（k）和可靠性指数β（k），其中k是迭代次数，再通过设定精度α以检验计算结果，将验算点作为平衡点重新迭代直至满足条件，最后计算失效概率。

2.2 蒙特卡洛法

Monte Carlo法简称MC，该方法也称为统计检验方法或随机模拟方法。这种方法精度相对较高，但是计算量大，宜应用于比较繁冗复杂的可靠度分析。蒙特卡洛法的计算过程为：第一步确定函数的失效条件或结构的失效模式，第二步对随机变量进行n次采样，第三步计算函数值。假设小于0的函数值的数量是L，则将失效概率以L/n计[8-9]。

基于伯努利在数学统计中的大数定理，当n足够大时，随机事件出现的频率f在概率p处收敛。鉴于小概率事件其功能函数小于0的概率极其微小这一因素，故当n的值恒定时计算精度不高。为了获得更高的可靠性指标，n的取值必须很大。因此需要统计计算n个样本得到函数值，从而得出功能函数的特征参数和函数分布特征，最后再就可靠度问题对所得功能函数进行分析。通过随机抽样方式，获取两个随机变量的样本值，此样本值服从标准正态分布，具体如下：

其中：r1、r2——服从均匀分布的两个随机数;

R1、R2——两个随机样本值，符合标准正态分布。

文献表明[10]：边坡岩土的粘聚力c和内摩擦角φ对边坡稳定性影响较大，粘聚力和内摩擦角的抽样公式为：

3 边坡稳定性可靠度分析

本节以广西某扩建高速公路路堑边坡为例，针对主要影响边坡稳定性的粘聚力c及内摩擦角φ两个参数，采用响应面法和蒙特卡洛法对影响边坡稳定性的因素进行可靠性分析。具体流程详见图1。

3.1 响应面法分析

本小节利用响应面法就边坡稳定性可靠度进行了详细的计算分析，相关边坡岩体参数取值详见表1。

计算结果详见表2。结果表明：使用响应面法计算所需的可靠性指数仅需迭代3～4次。

3.2 蒙特卡洛法分析

计算与不同采样数量对应的可靠指标，并将其绘制在图2中。由图2可知：采样数<6 200次其可靠性指标分布浮动较大，而当采样数>6 200次后其可靠性指标分布趋向稳定。

样本数n处于6 200次时所测得的安全系数概率分布曲线和概率密度曲线结果分别如图3和图4所示。测试结果表明，安全系数曲线与正态分布曲线吻合良好，服从正态分布。

基于计算结果发现，响应面法和蒙特卡洛法计算的可靠性指标分别为2.966 4和3.252 6，两种计算方法存在误差。这是因为两种计算方法的准确性取决于随机变量的函数分布，函数的非线性程度越高，其所得可靠性指标的差异越大。

3.3 影响因素分析

本文为分析粘聚力c和内摩擦角φ两因素对边坡稳定性可靠度的影响，计算样本数n为6 200次时两者的均值、变异系数等参数。图5～8为各参数计算结果变化趋势曲线。

由图示结果可知：粘聚力均值和内摩擦角均值与可靠度指标呈正相关，两者对应的变异系数和相关系数与可靠性指标呈反相关，两者之间的变异系数对可靠性指标的影响最大，内摩擦角均值对可靠性指标的影响大于粘聚力均值，两者之间的相关系数对可靠性指标的影响最小，一般情况下可以忽略不计。

4 结语

（1）采用响应面法计算所得可靠度指标值为2.966 4，而采用蒙特卡洛法计算可靠度指标值为3.252 6，两者存在一定的误差。计算的准确性在很大程度上受随机变量分布函数的影响。

（2）粘聚力和内摩擦角的平均值与可靠性指标呈正相关，粘聚力和内摩擦角的变异系数和相关系数与可靠性指标呈反相关。两者之间的变异系数对可靠性指标的影响最大，内摩擦角均值对可靠性指标的影响大于粘聚力均值，两者之间的相关系数影响最小，一般可以忽略。

参考文献：

[1]陈 沛，苗作华，董 舒，等.基于随机响应面法的风化岩质边坡稳定可靠度分析[J].矿业研究与开发，2018，38（11）：51-56.

[2]邓志平，牛景太，潘 敏，等.考虑地层变异性和土体参数空间变异性的边坡可靠度全概率设计方法[J].岩土工程学报，2019，41（6）：1 083-1 090.

[3]张 海，李 帆，阳 芳.土层参数随机性对多层土模型传递函数的影响[J].山东农业大学学报（自然科学版），2011（4）：555-560.

[4]陳荣江，张万琴.概率论与数理统计[M].北京：北京大学出版社，2006.

[5]秦 权，林道锦，梅 刚.结构可靠度随机有限元-理论及工程应用[M].北京：清华大学出版社，2006.

[6]蒋水华，李典庆，方国光.结构可靠度分析的响应面法和随机响应面法的比较[J].武汉大学学报（工学版），2012（1）：46-53.

[7]杨成永，张 弥，白小亮.用于结构可靠度分析的多响应面法[J].北方交通大学学报，2001（1）：1-4.

[8]张光鹏.基于蒙特卡罗法的黄土滑坡稳定性研究[D].兰州：兰州大学，2013.

[9]褚雪松，李 亮.伪蒙特卡罗法及其在边坡可靠度分析中的应用[J].土木建筑与环境工程，2013（6）：33-39.

[10]闫 强.高速公路改扩建工程高边坡开挖过程稳定性研究[D].西安：长安大学公路学院，2015.

作者简介：闫 强（1982—），高级工程师，主要从事道路工程建设管理工作。

基金项目：中国博士后科学基金（2019M663872XB）