基于投影寻踪回归的金刚石钻探岩石可钻性预测

刘 存 丰

(秦皇岛天元五一五钻探工程有限公司，河北 秦皇岛 066000)

岩石的可钻性是岩石的各种物理力学性质在钻进过程中的综合反映，是岩石破碎理论研究工作中最具体的内容[1]。科学地对其预测不仅是制定钻探生产定额的基础，而且为优化钻进提供理论依据[2]。

由于岩石可钻性影响因素较多，不同系统所用钻进法不同，其分类方法及相应的评价指标也不同[3-6]。但对硬岩中金刚石钻进岩石可钻性的研究较少。金刚石岩心钻探作为一种先进的钻进工艺，长期以来人们就企图把岩石的物理性质与其可钻性联系起来考虑[7]。根据岩石的力学性质进行岩石的可钻性分级的方法有单因素法[8]和多因素法[9]。岩石可钻性级别的预测是一个多指标的决策问题，目前已有多种方法处理这类问题，如模糊综合评判法[10]等。但这些方法大多是先对不同的判定指标进行无量纲化处理，然后再结合各指标的权重进行组合。

投影寻踪回归方法因其能在一定程度上解决分类、函数逼近和时间序列预测等高维非线性和非正态问题，在水资源工程方案优选[11]、水质评价[12]、热带气旋年季频数预测[13]、边坡稳定性评价[14]和砂土液化势评价[15]等方面得到了应用，这里将其应用于岩石可钻性预测。

1 投影寻踪回归原理[16]

Yk=G(xk)+εk,1≤k≤n

(1)

若解释变量集合xk,1≤k≤n是来自密度函数f的p元随机样本，对每个p元样本xk，有一元yk与之对应，且E{Yk|xk=x}=G(x)。这里G为回归函数，即目标函数。

gθ(u)=E{G(x)|θ·X=u},θ∈Ω

(2)

在区域A∈Rp内对G的第一次投影逼近使函数G1(x)=gθ1(θ1·x)。这里θ1是极小化公式S(θ)=E{[G(x)-gθ(θ·X)]2I(X∈A)}的结果。因G是未知的，要做出S(θ)与gθ(u)的估计，才能得到G1(x)的估计。设θ·x的密度为fθ，利用样本xj但不包括xk构造fθ的核估计为:

(3)

其中，K为核函数；h为窗宽。

排除xk在外的Gθ的估计为:

(4)

借助于交叉核实的思想，对式(5)极小化:

(5)

这种回归模型的计算是对方程Y=G(θ·x)+ε·(Y)(Y为一元；x为k元；G为形式未知的待定函数；θ为待定的投影方向)，先做出u=θ·x的密度核估计f(u)，它带有未知参数θ，然后用权函数方法做出G的非参数估计g，最后用交叉核实方法求s(θ)=∑(Y-g)2的极小值，用单纯形算法可以确定θ，从而求出G的估计。

2 应用实例

金刚石钻进主要破碎形式为压入、张裂和剪切。岩石的物理力学参数与可钻性存在一定相关性[9]。为了预测金刚石钻进岩石的可钻性级别，以岩石的压入硬度、肖氏硬度、塑性系数、钢针摩擦值、微钻时效、钻头摩擦值和实钻时效作为评价指标，分别对5块闪长岩、正长岩和橄长岩进行了试验，按照《金刚石岩心钻探岩石可钻性分级表》[17]，将前3种岩石分别定为Ⅵ级、Ⅶ级和Ⅷ级(如表1所示)作为已知样本，最后一组斜长岩5块标本作为未知级别进行预测。

应用DPS系统进行投影寻踪回归分析。由于DPS系统提供了投影寻踪回归分析模块，进入投影寻踪回归分析时，可给出投影寻踪回归分析的相关参数。一般情况下，取DPS系统给出的缺省值即可。如需要进行预测，则在系统弹出输入预报因子的界面时，输入各个因子的实况运行，即可得到预测值。

在本例中，选取前15个数据3种岩石的可钻性指标作为样本资料，预留后5个数据拟合检验。应用DPS系统缺省值，经过分析，首先给出各个投影的权重系数；然后给出各个变量在各投影上的投影系数、投影寻踪模型统计量GCV得分及对数似然估计值。最后给出了各个样本的拟合值。

为对模型进行进一步诊断，进行Bootstrap抽样，给出每次抽样各个变量在各投影上的投影系数、均值和标准误。最后给出各样本拟合值的标准误。

在系统弹出输入预报因子的界面时，依次输入5组斜长岩的各项测试指标，预测其可钻性分别为7.690,7.692,7.688,7.694,7.690，平均值为7.691，这与文献[1]用判别分析得到的结果7.84级接近，即斜长岩的可钻性为Ⅷ级。

3 结语

投影寻踪方法具有稳健性好、抗干扰性强和准确度高等优点，对岩石可钻性预测具有较好的适应性。但岩石可钻性受多种因素的影响，用该模型预测时有可能出现两个级别之间的中间结果，那么岩石到底属于哪一级别还不好确定。如果此法再和其他方法结合使用，综合对岩石的可钻性进行预测，则会得到更加符合实际的结果。