四边固支矩形薄板热屈曲问题的有限积分变换法

(大连理工大学建设工程学部 辽宁 大连 116024)

一、前言

水泥混凝土薄板是一种重要的结构构件，在土木、道路桥梁、水利以及航空航天领域有着广泛的应用。实际工程中，水泥混凝土薄板会受温度的影响而产生温度应力，在温度上升到一定程度时会薄板会出现热屈曲的状态。薄板热屈曲对薄板工作状态有很重要的影响，但是现有的对于薄板温度屈曲的解析解相关研究比较少，因此对温度荷载作用下的矩形板进行力学分析具有重要的理论及工程价值。

近年来，温度荷载对于矩形板的影响受到了很多的关注。弓满锋等人[1]应用五节点差分法求解关于平面应力的非线性偏微分方程，得出矩形薄板受温度场和相应边界条件约束时的应力分布特点。程选生、杜永峰[2-3]于2006年根据横向变温作用下各向同性材料弹性矩形薄板的平衡微分方程和边界条件,通过试取挠度函数,推导了四边简支以及四边固支情况下的挠度及内力计算公式。在此基础上，程选生等人[4]推导了弹性地基上钢筋混凝土矩形薄板在热载作用下的平衡方程和稳定方程，给出了四边简支钢筋混凝土矩形薄板在均匀温度变化时临界屈曲温度变化的封闭解，讨论了板的材料常数、长宽比、相对厚度和基床系数等对临界屈曲温度变化的影响，从而为工程结构中弹性地基上钢筋混凝土矩形薄板的临界屈曲温度的计算提供了理论计算依据。

弹性矩形板问题的研究方法众多，钟阳教授于2005年将有限积分变换法系统地应用于弹性矩形板问题的求解中。该方法是以积分变换理论为基础的，首先将矩形板基本控制方程转换至积分变换域内，从而在变换域内进行求解，最后经积分逆变换得到了直角坐标系下矩形板位移和内力的精确解。有限积分变化法求解思路清晰，计算简便，由于求解过程不需预先人为选定位移函数，而是直接从矩形板的基本控制方程出发求出问题的精确解，使得问题的求解过程更合理化，因此对不同的边界条件有非常好的通用性。例如钟阳教授利用二维有限积分变换的方法推导出了四边固支矩形厚板位移和内力的精确解[5]，利用双重有限余弦积分变换的方法推导出了弹性地基上四边自由矩形薄板问题的解析解表达式[6]。田斌[7]采用有限积分变换法给出了简支板的纳维尔解推导过程，并分别求解了四边固支薄板和弹性地基上四边自由薄板，提出了以有限积分变换法为基础的求解任意边界薄板位移函数的统一公式，并通过悬臂薄板的求解验证了该公式的正确性。

本文运用有限积分变化法进一步应用到推导温度荷载作用下四边固支矩形薄板温度屈曲过程的解析解。在推导过程中首先将其控制方程进行有限积分变换，代入边界条件的表达式，最后得出解析解。

二、四边固支薄板热屈曲有限积分变换法

已知矩形薄板计算的基本假定[8-10]：a.变形前垂直于中面的直线，在板变形后仍然垂直于变形后的中面，且长度保持不变；b.应力分量σz、τxz、τyz远小于其余三个应力分量(σx,σy,τxy)，因而其引起的应变可忽略不计；c.薄板中面内的各点都没有平行中面的位移，即：u|x=0=0，v|x=0=0。

(一)薄板热弹性的基本方程

已知几何方程为：

(1)

式中：α是线膨胀系数；T=T(x,y,z)是薄板中任意一点的变温。E和μ分别为板的杨氏模量和泊松比。求解应力分量得：

(2)

若令D=Eh3/12(1-μ2)，则有：

(3)

(4)

(二)有限积分变换法求解控制方程

根据经典薄板的小挠度理论[11]，矩形薄板在单向压缩荷载作用下的控制方程为

(5)

(6)

其中D=Eh3/12(1-μ2)为板的弯曲刚度。

对于四边固支矩形薄板所需要二维正弦有限积分变换如下：

(7)

逆变换为：

(8)

对于控制方程进行有限积分变换时所需要的高阶偏微分项如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

将式(9)-(13)代入到控制方程(5)中可得：

(14)

将四边固支条件下四边的挠度为零代入，即将W|x=0=W|x=a=0,W|y=0=W|y=b=0代入上式，可得：

(15)

接下来，令

(16)

已知对于四边固支边界条件：

(17)

将(17)代入(16)Im,Jm,Kn和Ln即可得到

(18)

可以看出-DIm,-DJm,-DKn和-DLn分别为y=b,y=0,x=a和x=0四条边弯矩的傅里叶系数可表示为：

(19)

由此，公式(14)可整理为：

Wmn=Cmn{βn[(-1)nIm-Jm]+αm[(-1)mKn-Ln]}

(20)

将上式(20)代入公式(3)即可得到W(x,y)的表达式，其中m=1,2,3,…n=1,2,3…,

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

整理并展开(22)-(25)式可得：

(26)

(27)

(28)

(29)

公式(26)-(29)组成有关于Im,Jm,Kn和Ln的四个联立方程组，通过矩阵的方程式为零可以求得四边固支薄板热屈曲的荷载系数。通过Mathematica计算软件即可编程计算得出结果。尽管当m、n趋近于无穷时，从推导中可以观察到屈曲荷载系数的精确解，但在实际应用中，只需少量的项就可以得到具有期望精度的收敛解，这是本方法的主要优点。

三、结论

本文采用有限积分变换方法，对矩形薄板的热屈曲解析解进行了研究。将高阶偏微分控制方程转化为一个线性代数方程组，得到了其解析解。该方法的主要优点是简单、通用，不需要预先确定挠度函数，使求解过程更加合理。该方法还可推广到弯曲、振动以及厚板和中厚板问题。这种方法对工程师和科学家来说都很容易实现。本文研究得出的解析解结果为其它数值分析方法的验证提供参考。