高考试题的变式探究

■付 鹏(指导老师：张昆龙)

历年高考试题集中考查了学生对基础知识的理解情况、基础能力的发展情况及基本态度和价值观的形成情况，对高考试题的深入研究是高中学习的一个重要方面。以高考试题为基础，对其采用合适的方式进行变式训练，同样也是高中学习的重要方式之一。通过不断地对高考真题进行变式，从而使学生在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律。

一、高考真题中的变式

例1(2010 年全国新课标Ⅰ卷理科第12题)已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，则E的方程为( )。

例2(2013 年全国新课标Ⅰ卷理科第10题)已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点。若AB的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为( )。

分析：我们可以看到例1 和例2 两道试题都是通过直线与圆锥曲线结合考查圆锥曲线中点弦结论的推导、应用及变形，所依托的背景分别是圆锥曲线中的双曲线与椭圆，2013 年的考题只是把双曲线方程改成了椭圆方程进行考查而已。看起来两道题没有什么关联，但其本质上是一致的，考查的内容与做题方法一模一样，两道题如出一辙。

所谓“万变不离其宗”，变式里的“宗”指的就是事物在数与形方面的本质特征。简而言之，在试题变式过程中，不变的是理论、公式等，改变的只是一些题目及其他的外在形式，目的只是为了让学生掌握“宗”。因此启示我们应该研究透彻高考真题，不能就题论题，要充分理解高考试题的内涵与外延，而利用变式的形式可以将一道真题从不同角度进行变换与发散，从而使学生能够理解不同知识的内在联系及问题的本质特征。

二、以高考真题为基础的变式探究

1.一变二，辩证对比中看待问题

所谓一变二就是指我们辩证地看待高考试题。一变二不仅仅指的是从一个问题的正面角度与反面角度去思考问题，还可以从抽象到具体、从特殊到一般、从主到次、从静到动等各个方面设计问题。比如，从具体函数的定义域到抽象函数定义域求法的问题，函数恒成立与有解问题，圆锥曲线不动点求值引申为动点求取值范围的问题，从而培养学生的逻辑推理、辩证思维的能力。

例3(2018 年全国新课标Ⅰ卷文科第15题)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A，B两点，则|AB|=_____。

变式1：(变为已知弦长反求直线方程中的参数)已知直线l：kx-y+2k-1=0与圆x2+y2=6交于A，B两点，若|AB|=2 2，则k=_____。

变式2：(变为已知弦长反求直线的一般式方程)过点P(3，6)且被圆x2+y2=25截得弦长为8的直线的一般式方程是____。

分析：例3主要考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，主要研究圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果。变式1 通过反向变式改编为含参直线与圆相交，已知弦长求参数的问题。而变式2更进一步改编为求直线方程的问题。通过结论与条件互换，帮助学生加深对此类问题的理解。

2.一变三，改变题设设计问题

所谓一变三就是通过改变高考试题中的条件、结论、背景三个因素来形成新的变式问题。通过在一道题中不停地对条件、结论及背景进行分析，不但能够让学生在以后做题的过程中较为迅速地找到这类题的答案，并且还能够培养学生的创新思维能力。

例4(2014年北京文科第6题)已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，4) D.(4，+∞)

变式3：(改变题中的结论)已知函数的零点的区间是(k，k+1)(k∈Z)，则k的值为_____。

变式4：(改变题中的背景)已知函数f(x)=(x-1)(x-2)+(x-1)(x-3)+(x-2)(x-3)有两个零点，则这两个零点所在的区间为( )。

A.(-∞，1)∪(2，3)

B.(1，2)∪(3，+∞)

C.(-∞，1)∪(3，+∞)

D.(1，2)∪(2，3)

例4主要考查函数零点定义及根的存在性定理。变式3通过把题设中的结论改为求取参数的值，做题原理是一样的，并且把选择题改为填空题，使学生无法通过代入的方法进行验证，促使学生运用逻辑推理的方式得到结果。变式4 则通过改变题中的背景，把单零点问题变为双零点问题，虽然做题方法没有改变，但提升了难度，能够提高学生的思维能力及应变能力。

三、总结

总体来讲，我们应该利用好优秀的高考试题，通过变式的方式不断对其加工、改造，让学生能够抓住数学问题及高考试题背后所蕴含的知识的本质。通过变式的方式去研究高考真题，不但能让学生深刻地理解高考试题，还能够提升学生的数学分析能力，培养自身独立思考问题、解决问题的意识。最终让学生建立起知识与知识之间的联系，实现数学知识的整体迁移，真正做到“解一题，思一类，会一片，得一法”。