基于OBE理念的抽象代数课程教学改革与实践

向红军，王金华

（湘南学院 数学与金融学院，湖南 郴州 423000）

引言

抽象代数是数学专业的一门必修课程。全国高校代数学教师关于这门课程的教学改革研究与探索就一直没有停止过。2014年，江苏师范大学俞小祥老师[1]通过举例抽取共性给出定义、重视与其他数学分支学科的联系并例举其应用等方法，进行课程教学的探索与尝试。中国矿业大学的王羡[2]等老师从自编教材、习题、课件及增加研讨课环节等方面讨论了抽象代数的教学方式改革。2015年，李浏兰[3]等人从熟知的知识入手，探讨了如何上好抽象代数课程。2019年，华中师大的王璐阳[4]等人沿着李浏兰等老师的研究思路，探讨了高等代数视域下对抽象代数的学习经验。

李少勇[5]老师提到要挑选适合学生的抽象代数教材，要针对教材制定教学大纲，并且教师应根据选用的教材，编写相应的习题，必要时可成立讨论小组，帮助学生理解知识，掌握知识。陶司兴老师[6]主要从多媒体教学及满足考研学生的需求等方面探讨抽象代数课程的教学方法。

沈金荣[7]在借鉴文献陶司兴研究成果的基础上,推荐学生讲课的方式进行部分抽象代数知识的学习，并提倡加强网络信息在教学中的利用。凡美金[8]等老师则从构建和谐课堂氛围、注重概念教学、适当提问、换位教学等方面，总结了抽象代数的教学方法。霍承刚[9]等人强调要增强课程的应用性，要利用Email、QQ等网络手段加强师生沟通交流。惠志昊[10]主要探讨了地方院校抽象代数课程教学内容、教学方法和考核方式等方面的改革，强调了过程化、阶段化和多样化的考核方式。

上述文献均提到了抽象代数这门课程的共性问题：概念多、理论性强、内容抽象、学生难学。事实上，抽象代数课程的教学研究是一项长期的课题。不同类型、不同地域的学校要求也不尽相同。

2018年“全国教育大会”和“新时代全国高等学校本科教育工作会议”的召开，新的教育理念得到宣传推广，课堂教学模式不断推陈出新。在新时代成果导向教育理念驱动下，如何与时俱进，博采众长，进一步提高这门课程的教学质量和教学效果，仍然是广大数学教育工作者，特别是高校抽象代数课任教师去努力做的功课。

一、OBE理念

1981年，美国学者Spady提出成果导向教育（Outcome Based Education，OBE）[11]，引起多个国家和地区的学者广泛关注，被认为是追求卓越教育的有效理念，并将其融入到工程专业认证中。OBE主要关注五个问题：想让学生取得的学习成果是什么？为什么要取得这样的学习成果？如何有效地帮助学生取得这些学习成果？如何知道学生取得了这些学习成果？如何保障让学生能够取得这些学习成果?

由此不难看出，OBE教学理念强调以学生的学习效果为导向，教学活动紧紧围绕学生的学习效果与成果来组织，最后关注的是学生通过教育过程后取得的成绩。2019年6月，在上海召开了“全国高校内部质量保障机构联盟”（CIQA）成立大会暨经验交流会上，唐春锋等专家对OBE理念进行了解读，并向大家展示了他们在OBE理念下所做的系列教学改革与实践成果。

地方高校要打造省及国家“一流”本科专业，实施“卓越人才培养计划”，结合OBE理念实施大学专业建设改革是一个很好的方向。而课程建设是专业建设的一个重要组成部分，在OBE新的教育理念驱动下，结合多年来的教学实际，我们在抽象代数课程进行教学改革与探索，与大家分享，以期抛砖引玉。

二、教学改革与实践

抽象代数是数学与应用数学（师范）专业的主要专业课程。要以OBE理念对抽象代数课程进行教学探索，就要根据专业要求和课程特点，以培养学生能力为导向，对教学活动进行设计。

（一）重新修订教学大纲

OBE理念要突出有效地帮助学生取得学习效果，首先需要修订教学大纲。2018年，对我校数学与应用数学（师范）专业人才培养方案进行了重新修订，向学生明确提出了知识要求和能力要求。其中知识要求是：理解抽象代数的基本思想；掌握抽象代数中的基本概念、性质、定理及重要命题；学会运用抽象代数知识解决实际问题等。能力要求是：具有较强的抽象思维、逻辑思维能力，具备一定分析问题的能力，具有运用代数学知识进行初步综合研究的能力或解决实际问题的能力。同时，培养学生具有认真、细致严谨的应用数学知识进行中小学数学教学教研与组织管理能力。

这些也是学生毕业需满足的要求。根据修订的人才培养方案，抽象代数课程的教学大纲也做了相应修改，其中变化较大是课时。原来只有理论课时，无实践课时。现总课时数不变，减少理论讲解，增加了实践课时，调整为60+12模式，即60个理论课+12个课外实践课。2019年，又做了微调，改为64个理论课+8个课内实践课。

（二）构建抽象代数核心知识点体系

数学与应用数学专业是我校传统的师范教育专业，主要为地方中小学培养数学教师。我们根据毕业要求，按知识目标、能力目标和素质目标等构建核心知识点，因此教材的选择尤显重要。我们选用张禾瑞[12]编著的《近世代数基础》（修订版）为主讲教材。

结合专业培养目标、抽象代数知识体系的逻辑关系及教学大纲，我们选择了牛凤文、刘绍学等老师编著的教材为教学参考书，重组教学内容，建立抽象代数核心知识点（见表1），充分体现该课程的重点、难点知识。学习第一章时，强调学生要认真学好映射、单射、满射、一一映射等与中学数学联系紧密的知识，为今后从事中小学数学教学打好基础。第二至四章为抽象代数的重点教学内容，许多知识点对学生的思维训练很有帮助，因此在讲授这部分知识时，特别注重学生的思维训练，其中的核心知识点要求学生必须牢固掌握。因为课时限制，第五章我们根据教学进度作为选学内容，通常只能够讲完代数扩域。

表1 抽象代数核心知识点

（三）教学组织与实施

1.教学条件与保障

我校目前抽象代数教学团队2人，其中主要任课教师具有教授职称，另一人为讲师，博士学历。任课教师均为学校“双师型”教师，自制了PPT课件、电子教案、教学大纲、考核大纲、讲义、补充习题等，另外参考并下载了优秀网络教学资源。教学资源建设比较完备，并能经常保持更新。多媒体教室设备运行良好。这些为教学实施提供了有效条件保障。

2.教学设计

（1）利用QQ、微信群等网络平台进行课前预习

地方院校数学基础普遍较差,且该课程确实有一定难度，因此很难在90分钟的课堂上对每次要讲的知识点做到融会贯通。充分利用信息化资源，精心设计课前预习内容可弥补上述不足。我们把每节课的重点、难点、疑点及以往考点等相关内容，做成电子文档于课前1-2天在班级QQ群或微信群发送，让学生预习。对于章节重点内容，则精心准备PPT课件或微课，让学生课前自学。据我们调查，大部分学生会课前预习教师布置的内容。经过这样操作之后的课堂教学效果，比传统教学效果要好很多。

（2）理论与实践相结合的课堂教学

OBE教学理念强调研究型教学模式，有意识引导学生思考与主动探索问题。抽象代数课堂教学内容包括主要定义的释疑、重要定理的证明与应用、典型方法的讲解与运用等，因此我们主要采用探究式、启发式和互动式教学方法，同时注重理论教学与实践教学的有效运用。根据内容，有时我们会作适当调整。

例如张禾瑞《近世代数基础》的第二章第9节有这样一个习题：设a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba。假定a的阶是m，b的阶是n，并且(m，n)=1，证明ab的阶是mn。我们在讲授置换群内容时，强调学生掌握Sn中每个元的逆元及阶的求法，此时n具体化，如取6、8等。因此，将这个习题提前作为补充的定理向学生讲解。然后提出问题：在6次对称群S6中，置换(24)(136)的阶是多少？置换(15234)(236)的阶又是多少？前者学生可直接利用补充定理得到正确答案，而后者需要引导学生进行探究活动。通过启发与互动，引导学生在定理的条件下，当(m，n)=d时，得到ab的阶是mn/d。这作为定理的推论，学生们能认真思考，积极回答，课堂气氛比较活跃。最后学生们的知识获得感溢于言表，课堂效果十分明显。

（3）注重已有知识到新知识的过渡教学

“抽象代数”课程概念多，而且抽象难懂，比如等价关系与集合的分类、零因子、整环、除环（域）等概念。作为数学专业的基础课程“高等代数”为“抽象代数”的学习提供了很好的支撑，教学相关内容时可以从已有知识入手，多举实例，让学生充分理解新知识。

又如讲等价关系与集合的分类时，先以同余关系（模n的剩余类）为例进行了讲解，但仍有部分学生对分成多少个等价类弄不明白，我们可以选择高等代数中n的阶矩阵的“等价关系”与n的阶复对称矩阵的“合同关系”为例作为补充，加深学生对这一知识的理解与掌握。

（4）“以学生为中心”的开放式教学

这些问题用于课内教学实践探索，先布置给学生去思考，分组让学生讨论。然后选择学生上台讲解，教师点评。这种把教学活动组织成师生共同的开放式讨论的教学模式，对师范生的能力培养很有帮助。

（5）知识拓展，补充练习

张禾瑞《近世代数基础》的特点是内容精简，比较“单薄”，且例题习题量不大，不利于地方本科学生对知识的理解掌握。为更好地帮助学生厘清思路、掌握方法，在讲完基本理论知识后，作为拓展，每章都精选了几十道例题或习题。它们有利于学生深入理解概念、定理、性质等内容，激发学习兴趣。

如设是模8的剩余类加群，H={[1],[3],[5],[7]}是G的子集，则H关于下列哪个运算作成群？A.加法 +：[a]+[b]=[a+b]；B.减法 -:[a]-[b]=[a-b]；C.乘法 *:[a]*[b]=[ab]；D.除法 /:[a]/[b]=[a/b]。此题是对群的知识的拓展，也为后来讲环的知识埋下伏笔。

又如讲最大理想，除了教材上的习题，我们补充了“设Z[x]为环上的多项式环，则Z当为整数环时，(x)不是最大理想，而当Z为有理数域时，Z[x]的主理想(x)是最大理想”“整数环Z上的多项式环Z[x]中，(2，x)是 Z[x]的最大理想”等问题。另外每一章讲完后，对本章的主要知识点，经过精心设计，以客观题型形式设计成试卷发给学生，作为补充练习，加深学生对基础知识的掌握。

3.课程考核

根据学习成果对学生进行评价，既要体现教学设计，又要有教学评价，这些都是在抽象代数课程改革中实施OBE理念的关键。为此我们改变单一考试模式，注重过程学习与考核。除了通常的上课考勤、作业检查、听课笔记考核外，增加了课内课外实践考核，对上课积极正确回答问题、课后讨论并提交问题答卷或小论文，都有明确的要求，并给出学生成绩，按比例记入最后的课程综合得分。

从近三届学生抽象代数课程考试成绩对比分析，实施OBE课改后的卷面成绩分布合理，符合正态分布，比课改前的平均分数要高15分以上。为后续课程打下良好基础，后续课程反映较好。

4.教学效果评价

教师每次都提前几分钟至十几分钟进教室，充分利用这个时间段接触学生，了解他们的学习情况。平时也与学生加强沟通交流，与他们交朋友。正式上课前，要求学生将手机关机并上交放在统一制作的手机袋中。

通过以上种种教学设计及对课堂教学的关注、对学生学习的关心与指导，学生们的听课状态好，课堂气氛相对活跃。同时课后通过网络与学生进行经常性互动交流，要求他们温故知新、举一反三，触类旁通，积极组织学生开展课外研究性学习或实践创新活动。学生参与踊跃，学生的学习更加自觉。通过调查，课程安排、内容选择与知识讲授等能满足学生的实际需要，且在教学中确实发挥了良好作用，学生满意度高，教学质量不断提升。

据调查，大二第一个学期数学专业的学生从事数学家教的不多，主要原因是因为中学阶段的数学基础不太好，还不太敢接受家教任务。教师经常鼓励学生勇敢地去做家教，特别是今后致力于中小学数学教育工作的同学，这是很好的锻炼，可以培养实践教学能力。一个学期后，不少同学反映：通过这门课程的学习，他们的思路开阔了，数学思维得到科学系统地训练。他们能利用近世代数思维方法，在实际工作或其他学科的学习中，进行灵活自如地应用。有不少的同学在刚进入大三，就报名参加全国数学建模竞赛与数学竞赛，并能获得较好成绩。

结语

OBE理念是对过去教育理念的改革创新。在抽象代数课程中运用OBE理念，就是要以学生为中心，遵循学生的主体地位，对课程教学环节进行认真设计，对纯理论的课堂教学增加课内课外实践教学环节，激发学生学习与探究代数知识的兴趣，提升学生掌握知识的牢固程度，培养学生的知识运用能力。最终目标是使教学质量得到大幅度提高，学生得到很好的发展。