关于一道几何背景解三角形题目一题多解的思考

黄碧崇

一、背景

近一年多来，笔者阅读了浙江大学出版社出版的由齐建民老师主编的《高中数学解题研究系列》1-8辑，对于一题多解、一题多思、一题多变有了深刻的认识，非常认同“刷百题不如解透一题”。罗增儒老师曾说：“解题能力是数学教师的一个专业制高点，研究解题是专业攀登的一座发展里程碑。”成为解题专家不仅要自己知道“怎样解题”，而且能指导学生也“学会解题”。谁也无法教会我们解所有的数学题，重要的是，通过有限道题的学习区领悟那种解无限道题的数学素养。在高三的二轮复习中，笔者也尝试精选题目进行一题多解，让学生真正解透一题，进而掌握一类题。下面以一道几何背景解三角形题目为例进行分析。

二、对于上题的一点思考

思路一主要从不同三角形中考虑应用正弦定理，结合角度之间的联系，找出角C的关系式。思路二主要以条件中的直角三角形作为切入点，利用正余弦定理把直角三角形的三边用一个叁表示出来，最后用勾股定理得到角C的正弦。思路三的思路与思路三类似，只不过切入点是三角形ABC中三边用一个叁表示，最后用正弦定理求出角C的正弦，寻找其中两边关系的过程中考虑了三种方法。思路四主要通过坐标法结合平面向量解决角C的问题，简单明了。

对于此类几何背景的题目，全国1卷在2013年进行了考查，普通的学生也比较怕这种几何背景的题。虽然近几年第一道大题都是考查解三角形的题，可能有些老师猜今年会考数列，所以，有些老师可能会减少了对解三角形题目的关注。笔者认为，全国卷出卷没有特定的规律，也有可能今年繼续出解三角的题，甚至可能就是几何背景的。就算大题不考解三角，小题也会考查，所以高中一线教师还是要重视。对于此类题授课时，可建议让学生多从几何背景出发，合理利用正余弦定理、三角形的面积公式和平面向量去解决问题。