对伏安法测电阻的进一步思考

王佳

摘   要：现在高二物理的很多教辅书上《恒定电流》一章几乎都有关于电流表内接法和外接法如何进行选择的分析和讨论，并最终形成了依据某一临界值进行选择的结论。进一步计算发现这一临界值并不准确。文中计算出了准确的临界值，并讨论了若依据不准确的临界值进行内接法和外接法的选择是否会出现选择错误等问题。

关键词：内接法;外接法;相对误差;临界值

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2020）5-0071-2

在人教版普通高中课程标准实验教科书《物理》（选修3-1）《恒定电流》一章中有一个很重要的实验“伏安法测电阻”。虽然并没有直接要求学生到实验室里去完成“伏安法测电阻”的实验，但它的实验原理中关于电流表的内接法和外接法的选择以及滑动变阻器分压式接法和限流式接法的选择在后面的实验“描绘小灯泡的伏安特性曲线”和“测金属丝的电阻率”中都有着很直接的应用。而且很多高考电学实验题也是基于“伏安法测电阻”的基本原理在进行考查。

在“伏安法测电阻”中怎样去确定电流表是采用内接法还是外接法呢？关于这一点教材中并没有直接讨论这个问题。但在学生使用的很多教辅书中都会着重分析，一般都是采用如下方法分析。

如图1，在内接法中，电压表示数UV=UR+UA>UR，电流表示数IA=IR，R = > =Rx。在外接法中，电压表示数UV=UR，电流表示数IA=IR+IV>IR，R = < =Rx。所以，不论内接法还是外接法，都存在系统误差。内接法中测量值偏大，外接法中测量值偏小。那么，在实际的应用中应该如何确定到底选择哪一种接法呢？

我们在很多教辅书上都可以看到如下的分析过程。在内接法中，系统误差来源于电流表分压，UV=UR+UA>UR，那么由于电压测量值偏大而引入的相对误差为σ1= ×100%= ×100%，由于电流表和电阻Rx是串联关系，所以σ1= ×100%= ×100%。在外接法中，系統误差来源于电压表分流IA=IR+IV>IR，那么由于电流测量值偏大而引入的相对误差为σ2= ×100%= ×100%，由于电压表和电阻Rx是并联关系，所以σ2= ×100%= ×100%。若两种情况下的相对误差相等，σ1=σ2，由此不难得到 = ，即Rx= 。以此值为界，当Rx> 时，此时σ1<σ2，故应采用内接法;当Rx< 时，此时σ1>σ2，故应采用外接法。

但是，内接法中由于电压测量不准确引起的相对误差和外接法中由于电流测量不准确引起的相对误差真的就是电阻测量的相对误差吗？即：当Rx= 时，两种接法测量电阻的相对误差真的是相等的吗？

我们举一个简单的例子。假设RA=10 Ω，RV=1000  Ω，若此时Rx刚好满足Rx= =100 Ω。接下来我们分别计算一下两种接法引入的相对误差。若采用内接法，R = =RA+Rx，再根据相对误差σ内= ×100%，可得σ内= ×100%。带入数据，可得σ内=10%。若采用外接法，R = = ，再根据相对误差σ外= ×100%，可得σ外= 100%。带入数据，可得σ外= ×100%≈9.1%。可见，当Rx= 时，采用不同的接法，电阻测量的相对误差其实是有差异的。

若此时依据两种接法引入的电阻测量相对误差刚好相等，即 = ，进一步计算可得出只有当Rx= 时，两种接法测量电阻的相对误差才是完全相等的。而且这里算出的临界值应该比前面依据电流或电压测量相对误差相等时所算出的临界值Rx= 稍微偏大一些。

那么，如果我们依据Rx= 为临界值进行内接法或外接法的选择是否就一定会出现选择错误呢？对Rx= 进行进一步分析，我们会发现当R >>R 时，两个临界值是近似相等的，而且两种电表的阻值差异越大，这两个临界值就越接近。现在高中物理学生实验中所使用的电流表0～3 A挡内阻一般约为0.1 Ω，0～0.6 A挡内阻约为0.5 Ω到1 Ω;学生用电压表0～3 V挡内阻一般约为3 kΩ，0～15 V挡内阻约为15 kΩ。可见，学生所用的电流表和电压表阻值差异还是很大的，因此这两个临界值也是非常接近的，而且中学阶段所做的有关“伏安法测电阻”的实验，一般待测阻值都不在临界值附近，因此一般不会对判断造成影响。

学生做的考题及练习题中一般也不会出现待测电阻很接近临界值的情况。笔者分析原因大致如下：若电流表、电压表内阻差异不是那么大，比如前面举的例子，RA=10 Ω，RV=1000 Ω，若待测电阻Rx= =100 Ω，通过前面的计算我们都已经知道此时不管用内接法还是外接法，相对误差都比较大，都在10%左右。因此，这种情况下即便是采用相对误差较小的外接法，测量出来的结果也是不准确的，两种接法可能都不能用。如果两种电表阻值差异更小（实际上一般很少出现），两种接法的相对误差都会更大，那么这两种接法肯定就更不能用了，只能寻求其他更精确的测量方法。若电流表、电压表内阻差异很大呢？我们再举一个例子，假设RA=1 Ω，RV=10 000 Ω，若待测电阻Rx= =100 Ω，那么采用内接法σ内= ×100%=1%，若采用外接法σ外= ×100%≈0.99%。可见，此时虽然采用外接法相对误差理论上要小一点点，但是两种接法的相对误差都很小，差异更小，所以此时即便选用相对误差稍大一点的内接法，从实验的角度讲也完全符合实验对误差的要求。

所以，虽然Rx= 并不是区分内接法和外接法的准确临界值，但依据Rx= 为临界值进行内接法或外接法的选择一般也不会出现选择错误。

（栏目编辑    张正严）