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厘清圆中概念 明晰圆中定理

2020-06-13

初中生世界 2020年19期
关键词:弧长圆心角圆周角

文 吴 璟

毕达哥拉斯曾说:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形。”我们研究了这个完美的图形后,会发现圆中概念和性质定理较多。下面,吴老师来帮助同学们厘清这些概念之间的区别和联系,准确理解相关知识。

一、弧、弦、圆心角和圆周角之间的关系

对于弧、弦、圆心角、圆周角等概念的理解,除了要对概念本身进行剖析外,还要将相关的概念进行对比,确定相互的联系和区别。

例1如图1,点I是△ABC的内心,∠BIC=126°,则∠BAC=____ °。

【易混点】内心、外心混淆。当点I是△ABC外心时,∠BAC与∠BIC是圆周角与圆心角的关系,此时∠BIC=2∠BAC;当点I是△ABC内心时,要利用内心是三个内角角平分线的交点进行计算。

解:∵点I是△ABC的内心,

∴IB、IC是∠ABC和∠ACB的角平分线,

∴∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB。

∵∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=54°,

∴∠ABC+∠ACB=2(∠IBC+∠ICB)=108°,

∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=72°。

例2在同圆中,都是劣弧,且,则AB与2CD的大小关系是( )。

A.AB>2CD B.AB<2CD

C.AB=2CD D.不能确定

【易混点】在同圆或等圆中,两条等弧所对的弦相等,从而误认为这样的倍数关系也是可以传递的。

解:取的中点为 E,连接 AE 和BE。

∴CD=AE=AB。

∵在△ABE中,AE+BE>AB,

∴2CD>AB。

故选B。

二、计算扇形的弧长和面积

求扇形的弧长和面积需要两个基本要素:圆心角度数和半径。所以解决此类问题的关键是找到弧所在圆的圆心,继而确定圆心角度数和半径即可。

【易混点】圆心定位错误,弄混圆心角或者半径。本题所对的圆心角不是∠ACB。由于为180°,所以连接AB,则AB是所在圆的直径。而AC=BC=2,∠ACB=60°,所以△ABC是等边三角形,所以AB=2,故所在圆的半径为1,圆心角为180°。则

【正解】π。

例4如图4,正五边形ABCDE的边长为2,分别以点C、D为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点F,则的长为_____。

【易混点】默认CF为角平分线。求弧长的关键是找出圆心角度数和半径。本题的圆心角为∠BCF,半径为BC=2,因此只需求出∠BCF即可。由正五边形的内角和得∠BCD=108°,而△FCD是等边三角形,所以∠FCD=60°,那么不难求出∠BCF。则

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