基于物理杆的多级Y 型银杏树动力学建模及试验

2020-06-12林欢许林云宣言周杰刘冠华陈青

林业工程学报 2020年3期

林欢，许林云，宣言，周杰，刘冠华，陈青

（1.常州信息职业技术学院智能装备学院，江苏常州 213164；2.南京林业大学机械电子工程学院，南京 210037）

树木在空间上具有复杂的分支结构，不同树种之间甚至同树种之间的形态结构和力学特性并不相同［1-2］。基于振动的果树采收理论研究，尤其针对果树振动时的动态参数传递特性研究一般离不开相应力学模型的构建和动力学的测试［3-4］。国内外相关研究主要基于等效模型对果树或其他树木进行动力学建模，近年来研究者们相继提出了梁件模型、弹簧-集中质量模型、杆件模型等比较有代表性的力学模型。

针对悬臂梁、简支梁和楔形梁等梁件模型，国外学者将果枝简化为悬臂梁或者底部直径与高度成特定幂函数关系的变截面悬臂梁进行研究［5-6］。Peltola［7］通过一个简支梁分析描述苏格兰松在持续平稳的风载荷作用下的稳定性以及计算树倒时风的速度，但是所构建模型的精度并不高。翁凌云等［8］将Y 型果树简化为直径随高度线性变化的圆截面楔形梁，将树干生长段和树冠的总质量简化成一个质量加于自由端。

针对弹簧-集中质量模型，国外学者提出复杂的二维树干／分枝几何形状可以在某种程度上模拟为一系列质量-弹簧-阻尼器。Theckes 等［9］还指出可以将枝干简化为无质量刚性杆，枝干与地面之间以及枝干之间用旋转弹簧连接，所有质量集中于各自枝干末端的3 个质量块上。刘子龙等［10-11］、魏庭鹏等［12］不仅建立了基于弹簧-集中质量的果树力学模型，还进行了仿真、运算，结合试验进行了对比分析。

针对杆件模型，Chiba［13］提出了圆锥杆模型，认为树冠的长度决定树冠底部树干直径。Li 等［14］将山核桃树树干等效成弹性圆柱杆，将各级枝干等效成梁件，分析了简谐激振条件下枝干各自的力学特性。

现有的树木力学模型将所有质量集中在枝干末梢，忽略了树木本身复杂的分枝结构，将整棵树简化为单独的梁件、杆件或者为一系列的质量-弹簧-阻尼器。尽管国外也基于物理杆模型构建了果树振动的动力学模型，但是仅考虑了一级侧枝对果树动力学特性的影响，并没有细化考虑枝干之间的连接关系以及具有二级分枝结构的果树动力学模型［15］。此外，国内外针对果树动力学的试验测试主要着眼于落果率、果树前几阶固有频率的研究，并且集中于果树树干的位移和加速度响应分析，对于具有二级分支的银杏树频谱特性还没有得到充分的研究［16-17］。

而实际的果树形态各异，具有二级及以上多级分枝的果树普遍存在，构建更深入更细化的动力学模型还鲜见有报道，分枝与主干之间以及各级分枝之间的动力学特性关系尚未研究清楚。本研究针对多级Y 型银杏树基于等截面和变截面物理杆模型对枝干特征进行必要的简化，并与测试结果进行对比分析验证，为正确描述果树的真实生长形态、构建精准的动力学模型提供依据。

1 材料与方法

1.1 试验材料

试验材料仍选用进行有限元模态分析所用的多级Y 型银杏样品树［18］。多级Y 型银杏样品树如图1 所示，A0点以下树干底端被夹持固定住。树干为A0A1，两个一级侧枝为B1枝和B2枝，右侧一级侧枝B2上衍生出两个二级侧枝C1枝和C2枝，测点A1、B21、B22分别位于分叉点处，其余测点根据各分枝的长度平均分布。

图1 多级Y 型银杏树Fig.1 Multistage Y-shaped ginkgo tree

1.2 试验装置

基频可以由绳拉法获得，测试设备包括激光位移传感器（OD-P85W20I0，SICK-Sensor Intelligence，德国Waldkirch）、12 V 稳压电源（YU1220，广州明纬电子产品有限公司）、数据采集设备（HRU-420E，上海海天电子科技有限公司）以及振动测试和分析软件（HRsoft-DW V1.3，上海地平线电子中国上海科技有限公司）。实验过程中将绳索系在树干上进行拉动使得树干相对于静止位置产生一定的位移，然后释放绳索使树木做衰减振动，获得树木在自由衰减下的位移响应曲线如图2 所示，可用公式（1）获得基频f0：

式中，t1和tn+1分别为第1 个以及第n +1 个波峰对应的时间值。

图2 自由衰减下果树的位移响应曲线Fig.2 Displacement as a function of time under the free attenuation for fruit tree

获取银杏果树各枝干频谱特性的试验方法采用力锤脉冲锤击法。试验装置由LC-02A 冲击力锤、CA-YD-141 三向压电式加速度传感器、YE5853A 电荷放大器和NI cDAQ-9174 数据采集装置组成，应用CRAS V7.1 测试分析软件（南京汽轮高新技术开发公司）处理数据。

力锤锤击点位于果树A1点下方400 mm 处，进行多次重复试验时，锤击点位置不变。由于电荷放大器及采集卡通道有限，一次试验只能有4 个三向加速度传感器即12 个通道同时工作，当一次冲击测试完成后直到果树完全静止才将加速度传感器移至下一组测点，直到所有测点均测试完毕。为了提高测量精度，每个测点试验重复3 次，取平均值。

基于振动法进行果实采收的激振频率一般位于10～25 Hz［19-21］，本研究设定考查频率范围为0～30 Hz。

2 结果与分析

2.1 基于试验的果树频谱特性

对各测点的加速度信号进行频谱分析处理，发现同一测点不同方向上的3 条频谱曲线一致性均较好［22］。因此，本研究不再区分各方向的频谱特性，而对各个测点在3 个方向上的分加速度值进行求和得到总加速度，再进行频谱分析获得对应各测点的频谱曲线（图3），将各频谱曲线上出现波峰时对应的频率点作为各枝干的谐频点（表1）。

主干上A1点：低于10.00 Hz 的3 个谐振频率点幅值均较低，且第一阶谐振频率2.50 Hz 为果树的基频，并与通过绳拉法测量主干的位移衰减曲线而获得的振动频率2.50 Hz 完全一致。高于15.00 Hz 的曲线峰值点较少，只有17.50，23.75 和28.75 Hz 3 个谐频点。

一级侧枝B1和B2：同一果枝上不同测点处的频谱曲线一致性较好，不同果枝上的频谱曲线存在一些差异。B1枝的频谱与主干相比，在17.50 Hz频率点不仅未出现峰点，相反为曲线的谷点，出现了新的峰值频率点20.00 Hz 且峰顶又高又宽，致使23.75 Hz 点处的峰只略微波动，几乎不显现；B2枝上对应7.50 Hz 只在B21位置点出现了微弱的小峰，其余各位置点反而呈现出低谷。同样，与主干相同的频率点17.50 Hz 处的波峰也很弱小。B2枝还出现了非常明显的峰点频率26.25 Hz，而28.75 Hz 谐频点却并未出现，其余各频率点与主干一致。

图3 多级Y 型银杏树各分枝的频谱曲线Fig.3 Frequency spectrum curves of the multistage Y-shaped ginkgo tree

二级侧枝C1和C2：C1枝出现的谐频点及频谱曲线与B2枝较一致，只是在高频区频率26.25 Hz与B2枝上出现典型的峰点不同，在25.00～28.75 Hz 范围内出现较宽较平坦的波峰区域；C2枝在低频区5.00 Hz 频率点没有出现峰点，相反为曲线谷点，在高频区较明显的峰出现在与主干相同的23.75 Hz 频率点。C1和C2枝的频谱特征在15.00 Hz 以上的高频区差异较大。

因此，主干、各级分枝之间既存在一定的运动关联性，同时又存在各自的运动独立性，贺磊盈等［23］、Spatz 等［24］也发现过类似的现象，他们指出分枝的摆动同树干的运动并不是一致的，而是相对独立。

表1 果树各枝干谐频测试值与模型计算值Table 1 Resonant frequencies of branches on the fruit tree by test and model calculation

2.2 基于等截面物理杆的数学模型

多级Y 型合轴分枝银杏树的等效结构见图4a，采用刚性直杆-弹性转动模型结构形式，假设各级枝即物理杆设为等截面且密度均匀的刚性直杆，树干与地面之间用刚度为kθ1的转动弹簧进行连接，各分枝在分枝点之间也采用转动弹簧进行连接。具体参数定义见表2，所代表的对应物理杆见图4。

图4 等截面条件下多级Y 型银杏树的简化模型Fig.4 Simplified model of the multistage Y-shaped ginkgo tree under the equal cross section condition

表2 多级Y 型银杏树简化模型的参数定义Table 2 Parameter definition of the multistage Y-shaped ginkgo tree simplified model

在忽略阻尼的情况下，系统的总动能为：

系统的总势能为：

依据多自由度的拉格朗日（Lagrangian）方程：

获得系统的运动方程组为：

2.3 基于变截面物理杆的数学模型

在变截面物理杆模型条件下，所有假设与等截面物理杆模型均一致，假设每一段银杏枝干的截面均沿轴向线性变化，如图5 所示，定义单位高度直径衰减率为α，其表达式为：

式中：树枝下端（大端）直径为d0，上端（小端）直径为dl。则l长度的树枝质量m为：

变截面枝干的质心位置为：

式中：β=

图5 变截面枝杆质心位置Fig.5 Centroid position of variable cross-section branch

枝干绕质心的转动惯量为：

枝干绕下端O点的转动惯量为：

式中：ρ为树的质量密度。

变截面条件下多级Y 型合轴分枝果树枝干的简化模型如图6 所示。

图6 变截面条件下多级Y 型银杏树简化模型Fig.6 Simplified model of the multistage Y-shaped ginkgo tree under the variable cross section condition

在忽略阻尼的情况下，多级Y 型合轴分枝果树系统的运动方程组为：

2.4 数学模型运算结果与试验对比及分析

结构力学［25］对杆件转动刚度的定义是指杆端对转动的抵抗能力，就是使杆端发生单位转角所应施加弯矩的大小，物理杆的转动刚度为［26］：

式中：E为树枝的弹性模量，MPa；I为树枝的惯性矩，m4；l为树枝的长度，m。

通过三点弯曲实验法，利用微机控制电子万能实验机（CTM6104）测试不同直径尺寸的试样可以得到银杏树的弹性模量为1.878～2.942 GPa，抗弯弹性模量的平均值为2.57 GPa，标准差为0.18。受到树枝直径、含水率等因素的影响，正常情况下同一棵树木不同枝干的弹性模量并不相同，为了便于方程的求解，计算过程中取弹性模量为定值2.57 GPa。

银杏样品树枝干的含水率为18%，各枝段的平均密度值为0.451 g／cm3，则可计算得到树枝长度为l的质量m，具体各参数见表3。给定果树枝干的初始运动位置，忽略阻尼条件下进行自由振动，应用Matlab 以变步长的ode45 四阶-五阶龙格-库塔法（Runge-Kutta）求解微分方程组（5）和（11），可得到各枝干在4 s 内的动态时域响应曲线，经快速傅里叶变换得到频谱曲线。基于等截面和变截面物理杆模型下的主干及二级侧枝的时域曲线与频谱曲线见图7 和图8。由频谱曲线图可以得到果树在物理杆模型条件下各物理杆的谐振频率，结果见表1。

表3 果树简化模型参数Table 3 Simplified model parameters of the fruit tree

多级Y 型合轴分枝的银杏树，实际上为连续质量结构体，由无限多个质量单元组合而成，应具有无限多个谐振频率，实测结果在30.00 Hz 以内存在近10 个谐频点（表1）。

图7 等截面条件下多级Y 型银杏树主干和二级侧枝的时域和频谱曲线Fig.7 Time domain and frequency spectrum curves of the trunk and secondary side branch of the multistage Y-shaped ginkgo tree under the equal cross section condition

图8 变截面条件下多级Y 型银杏树主干和二级侧枝的时域和频谱曲线Fig.8 Time domain and frequency spectrum curves of the trunk and secondary side branch of the multistage Y-shaped ginkgo tree under the variable cross section condition

基于物理杆建模条件下，由于受到模型自由度的限制及龙格-库塔法的算法局限，果树的主干只激发出唯一一个基频，只有二级侧枝激发出全部的前5 阶谐振频率，且均低于15.00 Hz。

在等截面物理杆模型中，主干与一级侧枝B1和B2的基频均为1.75 Hz，相对误差最大，达到30%，一级侧枝B1和B2只激发出了前4 阶频率；二级侧枝C1和C2不仅激发出基于5 个自由度的全部谐振频率点，且只在第2 阶频率引起了15%的较大相对误差，其余各阶频率值与测试值的相对误差均较小。

在变截面物理杆模型中，主干只激发了1 个基频点，其余所有侧枝均激发出全部5 个谐振频率点，且频率值与测试值非常接近甚至完全一致，最大误差只有5%，远远低于等截面物理杆模型的计算误差。说明采用变截面物理杆模型将果树枝干等效为单位长度质量不均匀的物理杆，更加接近于果树实际的形态结构，更能准确地体现果树的频谱特性。