Delta分拣机器人工作空间及灵巧度分析

李 亮，李思凡，王海芳，张荣闯

（东北大学秦皇岛分校 控制工程学院，河北秦皇岛 066000）

0 引言

随着“中国制造2025”强国战略的推进实施，作为重点发展领域的机器人产业有助于中国制造业的转型发展。传统的分拣作业通常由人工完成，属于典型的劳动密集型工种。Delta机器人具有结构简单、刚度大、精度高、速度快等特点，在医药、食品、电子等轻载分拣领域用以代替人工分拣作业，有着不可替代的优势。因此，近年来针对Delta机器人机构的研究一直是国内外学者研究的热点问题［1］。

Clavel［2］、黄海忠［3］采用圆弧相交法，结合工作空间约束条件利用解析几何算式求得Delta机器人的工作空间。刘辛军等［4］采用解空间的物理模型法对Delta机器人的工作空间进行求解，并逐步将这种方法发展成为一种性能图谱理论。机构运动学性能是进行尺度综合的基础，通常基于速度雅可比矩阵的代数特性展开。Carretero［5］以条件数作为并联机构运动性能的评价指标，给出了机械手在给定位姿下的灵巧性。Miller［6］针对直线型Delta以空间利用率及全域条件数指标的加权来评价机构性能，采用该性能指标进行尺度综合可兼顾良好的运动学性能及紧凑的结构尺寸。因此，对工作空间及灵巧度的研究对后续尺度综合有着重要的指导意义。

1 运动学数学模型的建立

Delta并联机器人常配备视觉和气动执行器等装置完成“Pick-and-Place”操作，以实现在流水线上的高速分拣作业［7］。图1为典型的三自由度Delta机器人，动平台通过3个完全相同的运动支链连接于静平台。其中每个支链上的主动臂，均由与静平台相连的转动副驱动；从动臂为两等长的平行杆，且两端均由球铰副连接，为防止发生扭转两杆间常布置有拉簧。

应用经典的Kutzbach Grubler公式进行自由度分析［8］：

式中 F ——机构的自由度数；

n ——构件总数；

g ——运动副总数；

fi——第i个运动副自由度数。

该机构n=11，g=15，球铰副12个，转动副3个，因从动臂的两连杆间不发生扭转，则机构具有6个冗余自由度。因此机构具有3个自由度，即沿3个坐标轴方向作平移运动。简化该结构并建立右手坐标系如图2所示，其中x轴与静平台一边平行，y轴垂直于该边并均指向静平台外侧。令从动臂和主动臂长度为La和Lb；静平台和动平台外切圆半径为R和r；静平台原点与三角形各顶点组成的线矢量OBi与坐标系x轴正方向的夹角角度为ηi，其中（i=1，2，3）。

则E点坐标为：

若动平台圆心O'坐标为（x，y，z），则点Pi坐标为：

由从动臂杆长不变，有约束方程：

1.1 逆向运动学求解

由于ηi=［（4i-3）/6］π，（i=1，2，3），整理可得关于θi的一元二次方程组：

式中：ti=tan（θi/2），Ki，Ui，Vi，均为已知量，舍弃角度过大的解，则有逆解：

其中

1.2 正向运动学求解

将ηi代入式（4）则可得三个支链的约束方程：

其中各变量表示为：

联立式（7）和式（9）并整理为：

其中

综合式（10）和式（11）可解得：

其中

将式（12）、（13）代入式（8）中可得一个关于未知数z的一元二次方程：

其中

对其求解则可得两个解：

因动平台在静坐标系z轴负方向，所以舍去不合理的解，则可得正向运动学的解为：

2 雅可比矩阵的求解

雅克比矩阵又称为一阶运动影响系数，是机构操作速度与关节速度之间的映射，也可以看作是从关节空间到操作空间的运动速度的传动比［9］。同时，也是进行机器人灵巧度研究的基础。若X=［x，y，z］T表示运动平台中心点的位置坐标，对时间求导由定义可知速度传递的映射关系：

式中 J ——雅可比矩阵。

为得到形如该式的速度间映射关系的表达式，将式（4）整理成：

将其进行一阶泰勒展开，并对时间求导可得：

整理为矩阵形式：

式中

观察式（18）中矩阵A和B中各元素均是已知量，由此可以得出Delta并联机器人的雅克比矩阵为：

其中

3 灵巧度性能指标

灵巧度是衡量机器人运动性能的重要指标，由于并联机器人雅可比矩阵呈病态分布时，其逆矩阵的精度降低使运动传递失真，这种失真程度的定量指标通常被称作灵巧度［10］。目前灵巧度性能指标主要有条件数和可操作度两种。

1982年，Salisbury等人提出了雅克比矩阵的条件数，其定义为［11］：

通常采用雅可比矩阵的Frobenius范数来计算条件数，矩阵的Frobenius范数定义为［12-13］：

式中 tr（.）—— 矩阵的迹，即矩阵中对角线的各元素之和。

机器人的条件数也与其结构尺寸及位形有关。条件数的取值范围为0≤k≤∞。当k=1时，此时机器人能够获得最佳的运动传递性能。但当k趋于无穷大时，机器人将处于奇异位形，因此条件数应尽可能的小［14］。

机器人的可操度最早由Yoshikawa等［15］提出，该灵巧性指标可对机器人在某一位形下各个方向上速度响应的灵活性进行量化，并通过具体的数值进行度量。机器人的可操作度定义为：

当ω=0时，机器人将处于奇异位形，这将降低它的运动学性能，因此实际工作中必须避开并远离奇异位置。当ω≠0时，在一定范围内其值越大运动性能越好［16］。但文献资料表明对于纯移动或纯转动的机构，通常采用条件数作为灵巧性指标［17］。对于Delta机器人显然条件数相较于可操作度作为灵巧度的运动性能评价指标更为合理。

4 算例分析

以某型Delta分拣机器人为例，给定其结构参数，其中R=60 mm；r=35 mm；La=350 mm和Lb=100 mm，根据结构尺寸给定主动臂的转动范围3°≤θi≤110°，结合式（7）～（14），基于MATLAB软件将θi等距离散，使用scatter命令绘制运动平台中心点的位置坐标点集合，得到其工作空间及各截面视图，如图3所示。从图3中看出该机器人的可达工作空间为一不规则的半球体，呈倒置的伞状结构，且工作位置越低可达范围越小。值得注意的是在其可达工作空间上部由3个剖切曲面构成，存在3条棱线，符合Delta机器人的运动规律。鉴于Delta机器人分拣作业是多以门字形操作轨迹为主，在选取设计工作区域时应在拾放高度及作业距离方面除远离边界之外，还应结合机器人的灵巧性做出综合考量［18-20］。

如选取设计工作区域为200 mm×200 mm×100 mm的棱柱型区域。为评价该区域内机器人的运动灵巧性，可将指定作业区域在Z轴方向上分成3个等高截面。将该截面上坐标值代入运动学反解，求得该位置的雅可比矩阵，进而结合式（20）计算指定截面内雅可比矩阵条件数的数值分布，计算结果如图3所示。

从图4中可以看出，在指定设计工作区域内条件数在4≤k（J）≤16之间连续变化、无突变，表明机器人在该区域具有较好的运动学性能。同时，在各截面接近正方形区域顶点处的条件数明显高于其他位置。这是由于靠近4个顶点处，距离工作空间的边界相对较小，距离奇异位形相对较近使之运动性能有所下降。此外，随着操作截面的降低条件数呈现增大的趋势，且截面较高时，Y轴负方向两个顶点处性能稍差；较低时Y轴正方向的两个顶点处性能稍差［21-23］。

5 结语

机器人的灵巧度是重要的运动学性能指标。结合其可达工作空间对设计工作区域进行优选，可有效避开并远离奇异位形处的位置，有助于科学合理地使Delta型机器人应用于分拣作业现场。同时，条件数作为灵巧度指标也可很好地对机器人在指定设计工作区域的运动学性能做出度量和评价，为该型机器人的尺度综合打下了坚实的基础。但考虑到机器人在分拣作业中处于高负载、高速、高加速度工况下运行时，整体结构存在运动构件的惯性、动刚度、离心力等影响。因此，在实际应用中采用轻质构件材料的同时，在确定机器人设计工作区域时需根据作业路径计入动力学因素的考量。