一类季节交替下具有一般功能反应的捕食-食饵模型的动力学分析

2020-06-10王晓雯

天津师范大学学报（自然科学版） 2020年3期

杭磊，张龙，王晓雯

（新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐830046）

1 引言和预备知识

自然环境的季节交替对生物种群具有极大影响，季节性变化的环境将影响种群的增长[1-2]、种间关系[3-5]、传染病动力学行为[6-7]和群落结构[8-11]等.相关学者对具有季节交替的生物种群的动力学行为进行了广泛研究[1，3-7].文献[1]和文献[3]将一年分为“好的季节”和“坏的季节”.文献[1]建立了在季节演替和脉冲扰动下的单种群系统，在“好的季节”种群增长较快，在“坏的季节”种群增长较慢，甚至负增长，得到了正周期解的存在唯一性和全局稳定性.文献[3]考虑具有季节演替的非自治Lotka-Volterra 竞争模型，在“好的季节”两种群互相竞争，在“坏的季节”两种群无竞争，研究了平衡点和周期解的稳定性.文献[6]研究了一类季节性的SIR 流行病模型.

考虑到种群的增长方式与种间关系是随季节变化的，文献[5]建立了基于负增长与Logistic 增长交替进行的两种群竞争模型

其中：m∈N；λi、ri和Ki分别为种群xi的自然死亡率、内禀增长率和环境容纳量；α 和β 分别为种群x1和x2的竞争系数.模型由周期性交替的2个连续季节（S1，S2）组成：在S1（坏的季节）中，即t∈[mω，mω+（1-φ）ω]时，两种群无竞争；在S2（好的季节）中，即t∈[mω+（1-φ）ω，（m+1）ω]时，两种群互相竞争.

在现实世界中，种群间不仅存在竞争，还有捕食以及合作关系，因此本文考虑如下基于Gompertz 与Logistic 交替增长的捕食-食饵模型

其中：k∈N；x为食饵种群，y为捕食者种群；正数ri、ki、ai和bi（i=1、2）分别为食饵的内禀增长率、食饵的环境容纳量、捕食者的内禀增长率和捕食者的死亡率，正数c1为捕食者的营养转化率；功能反应函数φ（x）为捕食率，即每个捕食者捕获的食饵数量.模型由2个连续季节（S1，S2）组成：在S1 中，即t∈[2kω，（2k+1）ω]时，捕食者捕食食饵；在S2 中，即t∈[（2k+1）ω，（2k+2）ω]时，捕食者不捕食食饵但有其他食物来源.

本文对模型（2）做如下假设：

（A1）当食饵种群密度增大时，每个捕食者捕获的食饵数量随之增大，即捕食率函数φ（x）增大[12].因此假设φ（x）在[0，+∞）上单调递增，且关于x可微，φ（0）=0.

考虑单种群模型

为方便，将模型（3）改写为

对模型（4）和（5）做如下假设：

引理1[1]若假设（A2）成立，则模型（4）（或（5））有唯一全局渐近稳定的正周期解u0*（t）.

对于纯量微分方程

有以下结论.

引理2[13]设（ft，x）和F（t，x）在平面G上连续，且满足f（t，x）≤F（t，x），（τ，ξ）∈G.若x=φ（t）和x=Φ（t）分别为方程（6）和（7）定义在a ＜t ＜b上的唯一解，则有φ（t）≤Φ（t），τ≤t ＜b.

容易看出，模型（2）任意具有正初始条件（x（0），y（0））的解（x（t），y（t））在（0，+∞）内恒正.

2 主要结果

2.1 有界性

定理1设（A1）和（A2）成立，则存在常数M＞0，使得模型（2）的任意正解（x（t），y（t））满足

证明令（x（t），y（t））为模型（2）的任意正解. 当t≥0 时，有

考虑如下辅助方程

由引理2 可得x（t）≤u（t），t≥0，其中u（t）为方程（10）的解，且u（0）=x（0）.由引理1 知，方程（10）存在唯一全局渐近稳定的正周期解因此，对于任意常数β1＞0，存在常数T1＞0，使得

故有

所以，由模型（2）及（A1）可得

由引理2 可得y（t）≤v（t），v（t）为下列辅助方程的解，且v（0）=y（0）.

其中：

所以

令M=max{M1，M2}，则有

证毕.

由（A1）及Lagrange 中值定理[14]可得，存在ξ1∈（0，x（t）），使得

考虑模型

对于模型（17），进一步做如下假设：

推论设（A3）成立，则模型（16）存在唯一全局渐近稳定的正周期解且其中为模型（4）的唯一周期解.

证明由引理1 知，模型（16）存在唯一正周期解由于方程（17）右端关于z（t）满足局部Lipschitz条件，根据常微分方程解对参数的连续依赖性[13]，可知方程（17）的任意解z（t，t0，z0，ξ）（z0= x0）关于（t0，z0，ξ）是连续的.进而可得模型（16）的唯一正周期解关于参数ξ 连续.因此有证毕.