基于分形理论的人工骨料比表面积计算方法——以白鹤滩水电站为例

尹 岳 降，朱 子 晗，卢 文 波，于 永 军，李 瑞 泽，陈 明

(1.中国水利水电第八工程局有限公司，湖南 长沙 410004； 2.武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉 430072； 3.武汉大学 水工岩石力学教育部重点实验室，湖北 武汉 430072)

近年来，随着大型工业与民用建筑建设的兴起，人工骨料被广泛应用于水利、港口、交通等岩土工程的建设中。党的十九大召开以来，各生产企业对节能减排以及绿色环保的要求日益重视，许多高耗能行业都逐步开始着手于降低能耗，以达到绿色环保的要求。在人工骨料的开采中，随着爆破破碎、运输、机械破碎等能量的输入，岩石的比表面积不断增大，人工骨料开采加工的能耗和骨料的比表面积呈正相关。因此，准确地计算骨料的比表面积，研究整个流程骨料比表面积的变化规律，是控制整个生产过程能耗的关键。目前，骨料的比表面积常用软件处理计算，但该方法计算过程复杂，且存在一定误差。近些年，分形理论已经逐步应用到岩体爆破工程研究领域。利用分形理论可以对矿岩爆破块度进行预测，从而对爆破参数进行优化，解决了一些过去难以处理的实际问题和理论研究，利用分形理论计算骨料的比表面积具有重要的研究意义。

20世纪80年代以来，谢和平将分形几何理论运用于岩土力学问题中[1]，其研究结果显示：由形状和大小各异的岩土体颗粒和孔隙组成的材料均存在自相似性，具有分形特性；刘松玉等人研究了我国黄土、膨胀土、红土3类特殊土的粒度成分特征，发现3类特殊土的粒度分布具有分形结构，并在此基础上指出分形维数是描述黏性土粒度特征的一个合适指标[2]；徐永福等人建立了土体结构的分型模型，并据此解释了土体的力学行为[3]；石修松等人的研究表明[4]，破碎分形维数可以反映破碎后石料粒径大小，分布的均匀程度。对于粗粒土，现有研究成果表明[5-6]，在不同粒度范围内，粗粒土均表现出一定的分形特征。分形维数作为分形理论的研究手段，已经成为研究岩土材料的一个重要指标。

近年来，李功伯等人运用颗粒形状分形维数的概念描述了颗粒形状的不规则程度[7]，发现粉碎颗粒分形维数随粒度减小而增大，根据分形理论可以得到和Hukki粉碎能耗表达式相同的结果；李国强，邓学均等人也对级配骨料的分形效应进行了研究[8]。但目前分形理论仍很少运用于人工骨料的比表面积计算。

本文基于分形理论，推导了利用分形几何学公式计算人工骨料比表面积的方法，结合白鹤滩水电站旱谷地料场不同级配成品料的级配曲线，计算了不同级配成品料的比表面积，并与软件分析计算结果进行比较。

1 基于分形理论的级配骨料比表面积计算

人工级配骨料存在着随机性和不规则性，属于分形理论可研究的对象。骨料经过爆破开采、机械破碎、碾磨等工序后，碎石的表面就是一种分形[9]。其次，当不同尺寸的碎石按照一定的级配混合后，表征碎石特征尺寸的粒径形成一种分布，这种粒径的分布函数也是一种数学分形。因此，级配骨料的质量分布函数、体积、空隙率、比表面积也是一种数学分形。通过这些分形现象和分形效应之间的相互关系，可以得出级配骨料比表面积的计算方法。基于分形理论，常用且较为准确的骨料比表面积计算方法如下。

1.1 骨料粒径分布的分形

骨料粒径满足：

F(x)=N(x)/N0

(1)

式中，F(x)为粒径分布函数；N(x)为不大于粒径x的骨料颗粒总量；N0为全部骨料颗粒总数，粒径x用筛孔直径来表示。

将式(1)微分处理可以得到：

dN(x)=N0dF(x)

(2)

级配骨料粒径分布的分形表达式为

(3)

式中，xmax为骨料最大粒径；D为骨料的分形维数值。

对式(3)微分处理可以得到：

(4)

式(4)即为级配骨料粒径分布函数的分形表征。

1.2 骨料的分形级配

定义骨料的质量分布函数[8]：

P(x)=M(x)/M0

(5)

式中，P(x)是级配骨料筛分通过率；M(x)为粒径不大于x的骨料总质量；M0为全部骨料的总质量；同样的，粒径x用筛孔直径来表示。

对式(5)微分处理可以得到：

dM(x)=M0dP(x)

(6)

骨料质量和体积、密度之间满足如下关系[10]：

dM(x)=ρV(x)dN(x)

(7)

式中，ρ为级配骨料的密度；V(x),dN(x)分别为区间(x，x+dx)中的骨料体积和骨料颗粒总数。

其中，

V(x)=kvx3

(8)

式中，kv是骨料体积因子。

联立公式(2)～(8)，积分可得：

(9)

式中，c为积分常数。

根据筛分通过率的定义，可知道函数的边界条件为[11]

(10)

式中，xmax为骨料最大粒径；xmin为骨料最小粒径。

联立公式(9)～(10)可得：

(11)

式(11)就是骨料的分形级配表达式。对于不同的分形维数D值，即可得到不同的级配曲线[8]。同理，根据骨料不同的级配曲线，可以反推求骨料的分形维数。

由式(11)可知，当最小粒径xmin=0时，lgP(x)=(3-D)lg(x/xmax)成立。为了方便计算，在计算时近似取最小粒径xmin=0，当骨料级配知道的情况下，可以利用最小二乘法对每段筛孔孔径的粒径分布率做直线回归拟合，直线的斜率为k，则可以得到每段筛孔孔径的粒径分布分形维数D=3-K[12]。

则整体骨料的粒径分布分形维数为[13]

这里筛孔的孔径不包括最大粒径xmax和最小粒径xmin。

1.3 骨料体积分形和孔隙率计算

当级配骨料混合后，由于它们的不规则性导致它们不能填满所占据的三维空间，在它们之间存在空隙，按照分形的定义，这种空间填充能力的不足就是体积分形现象。

根据文献[14]，可得级配骨料分形体积为

(12)

式中，V为级配骨料的分形体积；V0为级配骨料堆积的整形体积；Dv为体积分形维数。

将式(12)微分可得位于区间(x，x+dx)的分形体积为

dV=(x/xmax)3-DvdV0

(13)

而根据体积的定义有：

dV0=M0/ρdP

(14)

联立公式(11)，(13)，(14)并在区间(x，x+dx)上积分得：

(15)

式中，V为级配骨料的分形体积；Dv为体积分形维数；ρ为骨料的自然堆积密度；M0为全部骨料的总质量；D为骨料的分形维数值。

根据空隙率的定义，可得：

(16)

除了通过体积分形维数的计算，空隙率还可以通过实测得出：

(17)

式中，ρ为骨料的自然堆积密度，g/cm3；ρa为骨料的表观密度，g/cm3。

1.4 骨料的比表面积计算

单个骨料的表面也存在分形现象，所以，对于单个骨料可得其分形表面积为

A=A0(δmin/x)2-Ds

(18)

式中，A为骨料的分形表面积；δmin为测量骨料分形面积时所用的最小尺码长度，在计算时可以取δmin=xmin，即用骨料的最小粒径作为测量的最小尺码长度；A0为整形骨料的表面积，A0=ksx2；ks为整形骨料的表面形状因子；Ds为骨料的表面分形维数。

同理，位于区间(x，x+dx)的骨料颗粒数目为

(19)

由此，可以得到位于(x，x+dx)区间的骨料总表面积为

ds=AdN(x)

(20)

联立式(11)，(18)～(20)，并在区间(x，x+dx)上积分可以得到骨料的总表面积S，再由总比表面积Sm=S/M0得到：

(21)

式中，ks/kv是骨料表面形状因子和体积因子的比值，主要反映骨料颗粒的形态，如球形、正方形、长方形、针片状等。

对于级配骨料分形体积和分形表面的数学模型，文献[8]通过对边长为L的立方体的等分变形计算，得到了骨料体积分形维数和面积分形维数的关系式如下：

(22)

(23)

另外在计算K，n时，尽量使n靠近K3/2 取值。

2 人工骨料比表面积计算

岩体的爆破破碎本质上是炸药内部的化学能转化为岩石表面能的过程。在颗粒破碎的过程中，外荷载所做的功转化为相应的表面能，颗粒的破坏产生了大量新的表面积。岩石在加工为成品料的过程中，先后经过爆破破碎和机械破碎两个过程，了解各个生产阶段不同块度岩石比表面积变化情况，对有效利用炸药能量、减少能源浪费、提高经济效益有重要作用。

而岩石颗粒是不规则的，所以计算颗粒比表面积比较困难，目前常用的方法是采用图像处理技术，应用软件对拍摄的颗粒图片进行处理从而计算颗粒的比表面积。但这种方法比较繁琐，且计算出的比表面积不能和颗粒级配产生联系。

由于岩石颗粒拥有自相似性，故可以采用分形理论，结合白鹤滩水电站人工骨料成品料级配曲线对成品料表面积进行计算。由于缺少成品料的空隙率，所以假定成品料表面均为光滑即取表面分形位数Ds=2；同时假定成品料均为球体。将计算结果与软件处理图片所得计算结果进行比较分析。

2.1 成品料分形维数计算

我国在人工骨料料场、大型矿山开采中常以爆代破，建筑骨料矿石的爆破对爆破岩石块度分布要求较高，岩体爆破破碎质量对后续的铲装运输、二次破碎、磨细效率和能量消耗等有重要影响。此外骨料生产过程中产生的岩粉经济价值低，若作为弃料处理将带来巨大的经济损失，且不利于保护环境。

为了研究不同块度岩石对于下游骨料生产加工过程能量消耗的影响，统计岩石在机械破碎过程中比表面积和能量消耗的关系，降低骨料开采加工的总能耗，实现“绿色环保-节能高效”爆破开采，对白鹤滩水电站旱谷地料场进行了调研。

调研期间对成品料进行取样拍照记录。成品料级配分布比较均匀，WipFrag软件识别成品料颗粒边缘较准确，分别对每个级配成品料进行块度图像分析，得到4种级配成品料的级配分布曲线，并将其绘制在同一张图，见图1。

图1 成品料粒径分布曲线

从图1中可以得到4种级配成品料的级配分布和各个级配成品料的最大、最小粒径。通过式(11)的反函数可以求出每一段筛孔孔径的粒径分形维数。特大石(80～150 mm)的计算结果如表1所示。

表1 80～150mm成品料分形维数计算结果

根据式(12)和表1,可以分别计算出80～150,40～80，20～40，5～20 mm成品料的整体骨料粒径分布分形维数，计算结果见表2。

表2 成品料分形维数

从表2可以看出级配骨料的粒径越小，级配料的分形维数越大，说明级配骨料的粒径对于骨料的分形维数有直接的影响。

取级配的平均粒径(即50%筛分通过率粒径)为横坐标，分形维数为纵坐标绘制曲线图拟合如图2所示。

图2 骨料平均粒径与分形维数关系

2.2 成品料比表面积计算

根据白鹤滩水电站现场调研结果，按照料场筛分结果，到旱谷地料场成品料料场取80～150，40～80，20～40，5～20 mm 4种级配样品，在室内对样品进行清洗，清除表面杂物。将成品料式样放置在干净的环境中充分晾干，放置合适比尺获取多张高质量图片，优选出清晰的照片，采用中值滤波法对分布和大小没有特定规律的噪点进行去噪处理，选取最好的照片进行二值化处理。

根据体视学原理，等价椭圆长短轴之比是骨料粒形在平面内投影的反映，周长是骨料表面积在平面内的反映，面积是骨料体积在平面内投影的反映，这些参数可由Image-Pro Plus软件直接计算得出，并由此计算得出成品料比表面积,即为软件计算得出的比表面积[15]。

根据表2计算得到的不同级配料的分形维数，并结合式(21)可以计算得到不同级配成品料的比表面积。各种级配的成品料比表面积计算结果如表3所示。

表3 成品料比表面积计算结果

2.3 分析与讨论

根据表3结果，并利用分形理论计算得出的比表面积变化如图3所示。

从图3中可以看出:骨料粒径越细，其比表面积越大，两者成幂函数相关。通过分形维数公式计算，80～150 mm级配成品料比表面积为22.57；40～80 mm级配成品料比表面积为30.75；20～40 mm级配成品料比表面积为60.44；5～20 mm级配成品料比表面积为150.06。计算结果显示骨料比表面积受级配骨料粒径影响较大。

图3 成品料比表面积变化

将通过分形公式计算得出的比表面积和软件处理计算出的比表面积进行比较。发现两者趋势基本一致，但计算结果存在一定偏差。相对误差基本在10%左右，但5～20 mm级配成品料的计算结果误差较大，接近18%。误差存在是由于计算模型的误差和以及软件处理的误差。在计算中假定骨料的表面光滑，且为球形。理论上这些假定会使计算结果偏小，但是在实际计算结果基本都比软件测量偏大，说明计算模型还存在一些误差。

计算结果趋势符合规律，且与软件计算所得比表面积比较误差均低于18%，处于正常误差范围，说明用分形理论计算人工骨料比表面积的方法可行。

3 结 论

通过对级配骨料的累计质量百分比、质量分布函数、空隙率、体积分形、面积分形的推导，得出了一种新的级配骨料比表面积计算方法，并利用该方法计算得到了白鹤滩水电站旱谷地料场人工骨料的比表面积，得到以下结论。

(1)确定各筛孔孔径的粒径分布的分形维数D(x)，可计算出级配骨料的分形维数D，结合实测空隙率计算得到骨料的体积分形维数Dv，从而计算得到面积分形维数Ds，最终可计算出级配骨料的比表面积。

分形理论模型在计算级配骨料的比表面积时，可以考虑不同粒径的骨料之间的相互嵌挤的情况，还考虑了级配骨料的空隙率、体积等因素，所以计算结果较为准确，且计算较为方便。

(2)80～150 mm级配成品料比表面积为22.57；40～80 mm级配成品料比表面积为30.75；20～40 mm级配成品料比表面积为60.44；5～20 mm级配成品料比表面积为150.06。通过分形理论公式计算所得比表面积数值和软件处理分析得出结果有相同的趋势，且数值接近，说明用分形理论计算骨料比表面积的方法是可行的。

(3)两者计算结果仍存在一些偏差，相对误差均在10%左右，针对小石的比表面积两种计算结果误差较大，接近18%，但仍在工程可接受范围内。