关于“理论力学”高等课程的探索与实践

刘娟 石嵩

[摘 要] “理论力学”高等课程曾经是一门传统的研究生课程，后因内容陈旧逐渐淡出历史舞台，现在国内鲜有高校开设。本文对该门课程的价值与意义进行了论述，指出本科阶段的“理论力学”课程并不能满足物理系研究生的需求，并对授课内容进行了探索，尝试对该课程的教学进行改革与实践。

[关键词] 理论力学;分析力学;量子力学;经典场论

一、引言

以“理论力学”为首的四大力学是目前高等院校物理系本科生的必修课程，研究生阶段还会开设相应的高等课程：“高等量子力学”“高等电动力学”“高等统计物理”，而唯独“理论力学”没有相应的高等课程。在历史上，“理论力学”高等课程的确是一门传统的研究生课程[1]，后来随着物理学急速发展，对研究生的知识储备提出了越来越高的要求，为了让年轻人迅速进入到科研第一线，高等院校研究生培养计划经过几番调整，高等“理论力学”这门看似已足够完善从而稍显过时、又不能给科研工作提供直接技术支持的课程，逐渐淡出了历史舞台。所以，现在国内鲜有听闻高校开设这门研究生课程。

而笔者所在的国防科技大学是为数不多保留这一传统的高校。我校物理系袁建民教授为研究生开设“经典力学与经典场”课程，多年来深耕不辍。在过去的三年里，笔者有幸接替袁教授承担了这门课程的教学任务。教学相长的过程中，笔者愈发深刻意识到，对于物理系研究生来说，这门课程的意义与价值被严重低估了，在目前新工科的背景下，也有着丰富的挖掘空间。因此，笔者写下这篇粗陋的文章，希望抛砖引玉，引起各位同行前辈的关注与讨论。

二、关于开设“理论力学”高等课程的意义

普通物理的“力学”课程引入微积分，大大提升了求解具体力学问题的能力，但并没有完成观念性的改变，学生对物理学的认知还停留在古典的牛顿力学框架内。以“理论力学”为首的四大力学，才承载了从古典物理到近代物理的转变，经过这些课程的学习，才算真正进入了物理专业的大门。而“理论力学”作为第一站，学生接受起来并不轻松。观念转变往往比技能学习更加困难，领悟力总是需要大量知识积累为基础。所以在本科阶段开始学习“理论力学”时，绝大部分学生其实都是囫囵吞枣，只把分析力学当作求解具体力学问题的一种新方法。

到了研究生阶段学生才能深入理解，近代物理是完全建立在分析力学基础上的，因为相比于牛顿力学，分析力学的形式更利于扩展。首先，牛顿力学里熟知的“力”其实是稍显粗糙的一个概念，比如量子力学有测不准原理，难以确定作用点，所以难以定义力，又比如狭义相对论里涉及到变换时，力的变换是非常复杂的，而能量作为四矢量的第零分量，可以按张量分析来处理，等等。进一步，求解牛顿方程需要事先知道力的形式，而这在大部分时候并不容易甚至无法得到，分析力学则不同，只要给出了拉氏量，就能推导出运动方程，不论是引力、电磁力，还是其他力，甚至力学以外。所以分析力学比牛顿力学更利于推广。

三、关于理论力学高等课程的授课内容

笔者在实际教学中，选取了以下几个方面作为切入点。

（一）经典力学与量子力学的传承与对比

量子力学是近代物理学取得的革命性成就，而量子力学的建立则基于分析力学的理论框架。所以，在课程中我们会带领学生从分析力学的角度来重新认识正则量子化和路径积分量子化。1925年狄拉克根据海森堡的论文，构建了新的哈密顿体系，取代了原来的经典哈密顿体系，用以描述原子现象。从泊松括号到对易子，就是所谓正则量子化，本质上就是从泊松代数到海森堡包络代数的一种代数形变。

（二）对称性思想的深化与系统化讲授

相比于牛顿力学，分析力学的一大明显优势在于，已知拉氏量就能得到运动方程，而拉氏量的具体形式需要根据体系的对称性来写出。回顾高中学习牛顿力学时，非常不严谨地“证明”了动量守恒，而在分析力学里，将动量守恒归结于空间的平移对称性。更进一步看，Noether定理告诉我们，每一种连续对称性都对应一个守恒量，这些对称性可以是外部的，也可以是内部的，比如电荷守恒，是源于阿贝尔整体规范对称性。本科阶段“理论力学”没有给出Noether定理的系统讲授，是因为大二学生还没有遇到过时空平移和旋转以外的对称性，而那些丰富的内部对称性，其实正是近代物理的思想基石，所以Noether定理并不是平庸的再阐述，而是创造性的预见，在近代物理中有着非比寻常的意义。将Noether定理放在“理论力学”高等课程里，讲授给对近代物理已有所了解的研究生，是非常合适且有必要的。

在打磨这门课程的过程中，笔者还在某些特定问题上得到一些灵感。对称性是近代物理中最深刻的思想之一，研究对称性的理论是群论，每个群元代表一个对称操作，而群元由生成元来生成。另一方面，根据Noether定理，每一个连续对称性都对应一个守恒荷。在量子物理中，我们经常会直接使用的一个结论：守恒荷即生成元。关于这个结论可以在群论中找到严格证明[2]，但笔者发现，在分析力学框架内也可以给出一定说明，笔者将在下一篇文章里中详细讨论这个问题。

（三）经典场论初步

这是本科阶段“理论力学”不够课时来讲授的部分，却是应用非常广泛的一套理论框架。牛顿力学需要知道力的具体表达形式，体系不同，力也不同，牛顿力学对于解决弱引力以外的体系是比较薄弱的，但分析力学通过将离散力学扩展到连续的场论，从而可以处理电磁场和引力场，甚至弹性物理、流体力学等各种体系。更重要的是，经典场论的理论框架可以直接扩展到量子场论，这是近代物理最伟大的成就之一，不管是粒子物理还是凝聚态物理，甚至宇宙学和量子引力，都多少需要一定的量子场论基础。量子场论是一门过于庞杂且烦琐的课程，非理论物理专业的学生一般没有精力来系统学习，但可以通过“理论力学”高等课程来获取一些经典场论的知识，这其实也是量子场论的入门基础，即使对于后续需要学习量子場论的学生，也是大有裨益的。

四、我校关于理论力学高等课程的创新尝试

除了以上内容，我们还在课程中尝试引入了另一块新内容：近代数学物理方法。据笔者了解，目前国内的高校除了一小部分理论物理专业，大多数物理系的学生并未修习过近代微分几何，而在近代物理研究中时常会使用到这些数学语言，所以适当了解也是很有帮助的。由于思维方式的差异，给物理系的学生讲授抽象数学并不是一件容易的事情，而分析力学的几何表述恰好是一个很合适的切入点。比如拉格朗日力学的数学形式建立在切丛上，而哈密顿力学的数学形式建立在余切丛上，余切丛具有内秉的辛结构，所以哈密顿力学自然具有辛结构，这也是正则变换的几何表述[3]，在编程计算中也有重要价值。

五、小结

根据笔者在中国科技大学和国防科技大学就读与教学经历来看，物理专业研究生攻读博士学位的比例是很大的，而以博士研究生的标准要求他们，则需要对物理学各个方向都有所了解，这是一名合格的物理学博士应当具备的专业素养。另一方面，如果能尽早掌握一些新的数学物理方法，比起遇到问题再来临时学习，更有利于他们以后的科研工作。而这两方面，都可以在研究生阶段的理论力学高等课程中学到。

参考文献

[1]Goldstein H，Pool CP，Safko J.Classical Mechanics.London：Pearson Education，2011.

[2]丁培柱，王毅.群及其表示[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]余扬政，冯承天.物理学中的几何方法[M].北京：高等教育出版社，1998.