两类曲面积分相关疑难问题解析

张 辉，王兆强

(火箭军工程大学 基础部，陕西 西安 710025)

曲面积分[1]是多元函数积分学中线面积分的重要内容，如何正确计算曲面积分是学生需要解决的关键问题.为使学生能够深刻理解两类曲面积分，本文将对第一类和第二类曲面积分从不同角度进行深入再研究，并辅以典型例题供学习参考，期望学生能灵活使用，达到举一反三、事半功倍的效果.

为了确保二重积分和曲面积分的存在性，我们假设被积函数均是连续或分块连续.

1 第一类曲面积分与二重积分之间的联系

2 积分曲面方程为参数方程情形的第一类曲面积分的计算方法

为了更好掌握上述方法，下面不妨来看这样一个问题.

3 计算第一类曲面积分的元素法

当积分曲面∑为圆柱面部分侧面时，根据被积函数的特点，可利用元素法[3]思想和方法得到曲面面积元素ds的特殊表达式，进而可将第一类曲面积分化为定积分或第一类曲线积分来简化计算.

解：由元素法的思想，圆柱面的面积元素可取为dS=2πRdz.即有：

通过上面两个例题可以发现，当积分曲面∑为圆柱面部分侧面时，基于被积函数的特点，将第一类曲面积分化为定积分或第一类曲线积分可以有效地计算出积分的数值，比将其化为二重积分计算便捷的多，可以达到事半功倍的效果.

4 第二类曲面积分中的和二重积分面积元素的联系

5 第二类曲面积分与∑的图形无关

当被积函数R(x,y,z)恰好为关于x、y的二元函数R(x,y)时，即有：

6 第二类曲面积分的内在联系

设积分曲面∑是由方程z=f(x,y)所给出的光滑曲面上侧，记∑在任一点(x,y,z)处的单位法向量为：

事实上，从换元法的角度也可以建立其内在联系，即：

(1)

通常，我们把式(1)称为第二类曲面积分的合三为一的公式.式(1)为我们提供了一种计算第二类曲面积分有效的方法.

7 结语

曲面积分是多元函数积分学的重要内容，如何深刻理解两类曲面积分是学生在学习过程中面临的难点问题。从简单的一元函数积分学过渡到复杂的多元函数积分学的学习过程确有难度，但是，似乎越难的学习过程就越具有其独特的魅力，因为，它会促使你不断地花心思去学习它、理解它、体会它，从而真正感到它的内在美。本文从6个不同角度对第一类和第二类曲面积分进行了深入研究，并辅以典型例题供学习参考，期望学生对曲面积分能有较为深刻的理解和掌握。