灰色PID控制在逆变器中的应用研究

刘锐，王明东

(郑州大学 电气工程学院，河南 郑州 450001)

0 引 言

随着电力电子技术的发展，逆变型电源广泛应用于医疗、军工、计算机等多种领域，这对逆变电源的输出电压质量提出了更高的要求。高质量的电压输出主要有稳态精度和动态响应2个指标[1]。逆变器作为逆变电源的核心，对其控制的优劣直接决定了逆变电源的动静态输出响应。传统的PID控制是一种比较简单的控制算法，主要应用于小滞后环节的系统，当系统中接入大量非线性负载或系统参数发生变化时，传统PID控制输出的电压波形不够理想，往往不能达到理想的控制效果[2]。近年来，学者对传统PID控制进行改进，如路颜等[3]、吴健芳等[4]采用PID与重复控制相结合的方法，由于重复控制自身的缺陷，因此有一个输出周期的延迟，动态响应效果不理想；张智娟等[1]、刘霞[5]采用模糊PID控制方法，由于模糊控制的设计尚缺乏系统性，简单的模糊处理会导致系统的控制精度和动态品质变差，而提高模糊处理复杂度又会导致动态响应速度降低。

灰色理论是处理非线性、时变性控制对象的一种有效途径，所需信息量少、通用性强[6]。本文将灰色理论引入到传统的PID控制，应用灰色建模的方法对不确定的干扰量进行事前估计，再用估计量对PID控制器进行反馈补偿，通过补偿抑制不确定因素带来的干扰，以克服传统PID控制在逆变器控制系统中的滞后和扰动问题。

1 逆变器原理及数学模型

本文以单相全桥逆变器为研究对象，滤波电路选择LC型滤波器，主要电路原理如图1所示。V1～V4是4个开关管，在SPWM驱动信号的作用下导通或关断，V1和V4同时导通(关断)，V2和V3同时关断(导通)，两对交替导通180°[7]。图1中VD1～VD4为4个反馈二极管，滤波电容C和滤波电感L组成LC型滤波电路，r为逆变器的等效电阻之和，包括各元器件电阻以及线路电阻等[8]。

在对逆变器进行建模时，不能简单地将逆变器接入负载视为阻性或感性。本文将输入电压和负载电流都视作外部激励，把负载看作一个外部扰动量，从而把逆变电路变成了一个简单而且又能真实反映实际情况的线性电路模型[9]。

图1 单相全桥逆变器电路结构

选取电感电流iL和电容电压vC为状态变量，把逆变电路交流侧输出电压vi与滤波器输出电流i0都视为逆变器系统的输入量，电容电压vC视为系统的输出量，则单相逆变器的状态方程为

(1)

y=Cx，

(2)

可以看出，该逆变器系统模型是一个单输出、双输入的二阶线性系统[10]，逆变电路输出电压vi为受控输入，滤波器输出电流i0为干扰输入。将输出电流i0视为干扰输入后，就不用考虑逆变器接入负载特性，当接入负载为非线性时所带来的系统波动将会直接反映在干扰量的变化上，对于逆变器系统，依旧可以视为二阶线性模型[11]。

在vi和i0同时作用下，由状态方程可以推导出逆变器系统的输出响应表达式，即

I0(s)=G1(s)Vi(s)+G2(s)I0(s)，

(3)

其传递框图如图2所示。

2 灰色PID控制算法

2.1 灰色系统理论

1982年，中国学者邓聚龙创立了灰色系统理论，为解决不确定系统问题开辟了新路径。用灰色系统的方法，对于系统中的不确定部分建立灰色估计模型，能有效提高控制质量和鲁棒性[12]。

与一般建模方法不同，灰色建模(grey model,GM)是用原始数据做累加或累减所生成的新数据建立微分方程，这样可以弱化原始数据被外界环境的干扰，从而发现原始数据的潜在规律。GM模型数据生成方式有累加生成、累减生成以及均值生成，设原始数列为

图2 单相全桥逆变器传递框图

x(0)=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，

(4)

经过一次累加生成的数列称为1-AGO，记为

x(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)),

(5)

且x(0)和x(1)满足

(6)

同理，原始数列经过一次累减生成的数列则称为IAGO，累减生成是累加生成的逆运算，常用于数据的还原。其中累减生成数列满足

x(r-1)(k)=x(r)(k)-x(r)(k-1),

k=1，2，…，n。

(7)

GM(M，N)模型中，M和N表示该灰色模型是M阶N个变量的微分方程，不同的M与N对应不同意义的GM模型。本文GM(0，N)模型是一种含有N个变量的0阶静态模型，它看起来和一般的多元线性回归模型一样，但其实有着本质的区别[13]，一般的多元线性回归建模都是建立在原始数据列的基础上，而GM(0，N)建模的数据则是经过了一次累加生成的原始数据列，即累加生成数据列。

2.2 灰色模型建立

考虑某复合非线性系统由N个非线性不确定子系统组成，系统表达式为

(8)

式中：x∈Rn，u∈R，D(x，t)∈R；A为n×n的矩阵；b为n×1的向量。bD(x，t)表示在满足实际工况条件运行时系统中的不确定部分，其中D(x，t)由2部分组成：一部分与系统状态量无关，即外部不确定干扰，另一部分与系统状态量成比例，即由系统参数确定[14]，写成

D(x，t)=VxT+f(t)=V1x1+V2x2+…+

Vnxn+f(t)，

(9)

式中：V=(V1，V2，…，Vn);xT=(x1，x2，…，xn)。

设Vi(1，2，3，…，n)及f(t)均为慢时间变量，可将Vi和f(t)视作常数。通过求解出Vi和f(t)的数值，根据式(9),就能估计出不确定量D(x，t)在不同状态下的值[15]。灰色理论处理问题的一个重要方法就是将原始数据进行累加(或累减)处理，生成新的数据序列，经过灰色处理减弱了原始数据的随机性，增强了其规律性[16]。

令x(0)为系统的原始离散时间序列，x(1)(k)为x(0)(k)的一次累加生成数。根据灰色系统理论，利用累加生成的数据，能够构建出D(x，t)的GM(0，N)灰色模型。

令离散时间函数为

D(0)=(D(1)D(2) …D(N))，

f(0)=(f(1)f(2) …f(N))，

i=1，2，…，n，

(10)

式中，N﹥n+1。

设D(1)，f(1)，xi(1)(i=1，2，…，n)为D(0)，f(0)，xi(0)(i=1，2，…，n)的累加生成数列。则称下述关系为不确定部分D(x，t)的灰色模型：

(11)

2.3 灰色算法步骤

第一部分：估计不确定部分的模型参数。作为慢时变干扰，可以认为：

⋮

(12)

记参数列为

V=(V1V2…Vnf)T，

(13)

记数据矩阵为

(14)

式中：(BBT)必须可逆，如果不可逆，则増大N，直到(BBT)可逆。此时，采用最小二乘法，有

VT=(BTB)-1BTD(1)，

(15)

通过系统状态量等可测数据能够间接计算出D(0)的值，进而求得D(1)的值。将式(8)离散化，得

(16)

其中，t=KT，T为采样周期。根据PID控制算法，

(17)

根据状态量x(0)以及式(16)，可以求得不确定部分的D(0)，进而求得V′。

第二部分：按估计参数加入补偿控制。N步之后，由估计出的V′得到补偿控制量uC，将uC补偿到PID控制中，得到灰色PID控制律为

u=uP+uC，

(18)

采用式(18)的控制律进行控制，可明显改善系统性能，提高系统鲁棒性[17]。

3 逆变器灰色PID控制器设计

灰色PID控制实现的流程如图3所示。

图3 灰色PID控制算法流程图

由式(1)～(2)可知，i0是系统的扰动输入，与控制输入vi的输入矩阵不同。本文为验证灰色PID控制算法的性能，只考虑由扰动输入i0带来的干扰，可将单相逆变器的状态方程改为

(19)

考虑状态参数的不确定，系统状态方程可进一步表示为

(20)

其中,不确定部分D(x，t)中所包含的不确定子系统取决于逆变器状态方程中状态量数量，本文中单相逆变器状态方程有2个状态量，分别是电感电流iL和电容电压vC，加上一个外部不确定干扰量，组成一个具有3个变量的不确定系统，因此，GM(0，N)模型中N取值为3。根据式(9)，D(x，t)可表示为

D(x，t)=V1x1+V2x2+f(t)。

(21)

将式(20)系统状态方程按照灰色PID控制算法进行求解，便可以得到灰色估计补偿量uC。将uC提前补偿到控制器中，可以有效抑制不确定干扰量对系统所带来的干扰，提高逆变器系统输出电压的波形质量。加入灰色补偿后，逆变器系统结构如图4所示，此时的补偿量应为

(22)

图4 灰色PID控制下逆变器系统结构

4 仿真分析

负载电流i0视为不确定扰动，因此，由式(3)可得逆变器系统传递函数，即

G(s)=1/(LCs2+rCs+1)。

(23)

采用MATLAB软件进行仿真实验，参数选择如下：参考正弦波电压u=1 V，频率f=50 Hz，采样频率10 kHz。考虑到系统动态响应速度、稳定性以及对谐波的过滤效果，滤波器截止频率既不能过高，不能太低，因此，将截止频率设计在采样频率1/10附近，这样既能保证系统良好的响应速度和稳定性，又能有效过滤采样频率附近的谐波。故选择滤波电感L=0.3 mH，滤波电容C=80 μF，等效电阻r=0.6 Ω。外加干扰为D(x，t)=V1x1+V2x2+f，取干扰参数为V=[5.0 5.0 5.0]，采用PID控制，PID控制器的参数按照临界比例度法整定[18]，分别为kP=0.028，kI=13.2，kD=25，经过3个采样周期，得到干扰参数估计值V′=[4.859 5.033 4.963]。图5是分别采用常规PID控制和灰色算法PID控制下，逆变器的输出电压位置跟踪波形图。图6是采用上述2种方法稳态时位置跟踪误差比较曲线。

从图5可以看出，灰色PID控制下输出波形跟踪效果明显好于常规PID控制，输出电压波形质量也有明显提高。从图6可以看出，灰色PID控制下逆变器稳态跟踪误差明显减小，能够有效抑制外界干扰给系统带来的误差。

图5 基于2种控制方法的逆变器输出电压位置跟踪响应

图6 稳态时位置跟踪误差比较曲线

为验证系统的动态性能，在0.02 s时刻，保持系统参数不变，改变系统中滤波器输入端的控制输入电压u的幅值和相位，使输入电压突变，其中电压幅值变为u=0.8 V，相位超前π/10。通过仿真，可以得到2种控制方法下输出电压波形的动态跟踪效果。图7和图8分别为在2种控制方法下，逆变器输出电压波形的跟踪曲线和跟踪误差的比较曲线。

图7 基于2种控制方法的逆变器输出电压动态跟踪响应

图8 动态时位置跟踪误差比较曲线

从图7～8可以发现，当输入电压发生改变时，相较于常规PID控制方法，灰色PID控制方法可以使逆变器输出快速跟踪突变后的电压，并且在突变点附近的电压波动明显小于常规PID控制，说明灰色PID控制方法有良好的动态性能，能够使系统有效抑制外界干扰带来的波动，提高系统鲁棒性。

当系统稳定时，在0.026 s时对系统进行突然减载40%，分别得到在常规PID控制下和灰色PID控制下的电流输出波形如图9所示。可以明显看出，减载发生时，系统均出现输出电流瞬间降低，常规PID控制下，电流波动范围较大，恢复稳定时间较长，而灰色PID控制下，输出电流波动范围较小，并且能够快速恢复稳定。由此可见，灰色PID控制的策略能使系统的稳态性、超调量得到较大的改善，提高了系统的响应速度和控制精度。

图9 不同控制方法下负载突减时输出电流波形

5 结 语

本文从逆变器模型分析入手，将负载电流作为扰动输入，建立线性模型。对于扰动输入的不确定问题，结合灰色系统理论，对系统中存在的不确定的扰动部分利用累加生成的方法构造GM(0，N)灰色模型，通过对模型求解，得出不确定部分的估计量，在控制前将估计量补偿到PID控制器中使灰色系统在一定程度上去“灰色”，从而提高逆变器输出的波形质量。从仿真结果看，基于灰色算法的PID控制既能保证系统的动态响应，又能获得很好的跟踪效果，同时，相比于传统PID控制，还能提高系统的控制精度和控制质量，增强系统鲁棒性，说明该控制方法用于逆变器的控制是行之有效的。