小学数学规律探索教学实践与研究

【摘 要】探索规律是2011年版课程标准提出的基本课程内容之一，是数与代数领域的重要组成部分。苏教版教材从三年级上册开始就逐步安排探索规律的专题活动，侧重引导学生体验由特殊到一般、具体到抽象的归纳过程。五年级上册“钉子板上的多边形”是一节典型的规律探索类课型，要引导学生发现其中蕴含的“皮克定理”，教学难度较大。笔者经实践探究，提出将学生作为学习主体，并以此为前提，通过课前思考、课中“一波三折”的规律探索教学以及课后反思，使学生获得学习乐趣，发现数学规律，锻炼数学思维，希望为小学数学规律探索实践教学提供参考和借鉴。

【关键词】小学数学;探索规律;钉子板多边形;皮克定理

【中图分类号】G623.5  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）34-0170-02

数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看书上的结论，他在书上写给你看的结论不过两三行，可是他写这个两三行以前，不知花了多少心血，经历了多少困难和挫折，稿纸不知用去了多少张，他成功的历程，就是用这些稿纸记录下来的。”每一位数学家都是经历了无数次的失败后才有了数学史上的重大发现。所以，学生探索规律的过程一定是困难重重、有错可寻的。

1   课前思考

1.1  探索什么规律

本节课要探索的规律是钉子板上多边形的面积（S）与多边形边上的钉子数（n）以及内部钉子数（a）之间的关系，即著名的“皮克定理”：S=n÷2+a-1。

1.2  怎样探索规律

回顾以往的探索规律教学课堂可知，学生虽进行了猜测、探索、验证这一系列操作，发现了规律，得出了结论，但这是在教师的“有意”引导下顺利进行的，缺乏试误的过程，这样毫无悬念的教法虽然能让学生快速得出结论并增强自信心，但因为缺少对客观事实求证的艰难过程，难以实现对学生探索能力的培养[1]。

1.3  研究方法是什么

钉子板上多边形的面积与边上钉子数和内部钉子数有关。这里涉及两个变量，因此需要用到“控制变量法”来研究其规律。但这种分离变量的研究方法是学生陌生的，他们并不具备这方面的经验。所以课堂上得出结论固然重要，但教师更应注重学生对这种研究方法的感悟和体会。

2   课中实践

2.1  渗透数学文化，明确研究方向

万事开头难，如何才能顺利进入新课？考虑到学生心中有种种疑惑：求多边形面积的方法有很多种，为什么要放在钉子板上研究？研究的背景是什么？因此课堂开始，先设问：当多边形遇到钉子板，你想研究哪些问题？然后通过录音和图片介绍数学家皮克的故事，以此明确研究方向。这样学生能明白之所以要把多边形放到钉子板上研究，源于皮克当年的发现。

片段一：

师：本节课我们要一起研究钉子板上的多边形。在低年级时，我们就在钉子板上围过多边形。当多边形遇到钉子板，你想研究什么问题？

生：多边形的周长、面积、形状……

师：有个数学家曾经也研究过钉子板上的多边形。

播放录音：乔治·皮克是奥地利著名的数学家，出生于1859年。不知从什么时候开始，皮克对多边形的面积产生了浓厚的兴趣。他平时喜欢在钉子板上围大大小小、各种各样的多边形，并对其进行研究，最终获得了重要的数学发现。

师：当年，皮克研究的是钉子板上多边形的面积，我们也来做一回小皮克，探索其中的奥秘，好吗？

这样的数学文化氛围，能唤起学生的研究欲望，无形之中促进教学目标的实现。

2.2  锁定研究问题，掌握探究方法

影响钉子板上多边形面积的变量有两个：多边形边上的钉子数和内部的钉子数[2]。教材降低了研究难度，对内部钉子数这种因素进行了“遮盖”，把“内部钉子数”作为常量来处理。从简单入手，先研究多边形内部只有1枚钉子的情况。

2.2.1  研究 a=1 的情况

首先，出示几个内部钉子数都为1的多边形（如图1）。引导学生利用数方格、面积计算公式、图形分割等方法计算多边形面积，积累数学活动经验。接着借助核心问题推动研究过程：你觉得皮克的数学发现中，多边形的面积会与什么有关？引导学生初步感知：多边形边上的钉子数越多，多边形的面积越大。让学生带着这样的感知继续思考：皮克会怎样开展研究？

在交流中，教师不能仅让学生完成表格（如表1）的记录，还应注重让学生感受表格的形成过程以及学习解决问题过程中所用到的方法。如追问：“多边形的面积已经知道了，还需要知道什么？这些数据怎么处理比较合适？”最后，引导学生注意得出结论后还需验证规律。

片段二：

师：你觉得皮克的数学发现中，多边形的面积会与什么有关？

生：钉子数。（感觉多边形边上的钉子数越多，它的面积就越大。）

师：有了感觉，还要实践。你觉得他会怎样研究？

生：数一下边上钉子的数，再与面积作比较，看有没有规律。

师：面积已经知道了，还需要知道什么？

生：多边形边上的钉子数。

师：这些数据怎么处理比较合适？

生：整理在表格中，更容易观察比较。

師：观察表中数据，多边形的面积和边上钉子数之间有什么关系？

生：多边形的面积是它边上钉子数的一半。

师：若用字母 S 表示多边形的面积，字母n表示多边形边上的钉子数，该怎样用公式表示它们之间的关系？

生：S=n÷2。

师：这个规律是否对钉子板上所有的多边形都适用，还需要进一步验证。

接着，再出示一些多边形供学生验证（如图2）。此时，很多学生都提出疑问：怎么错了？为什么有的符合规律，有的却不符合？教师再引导学生主动研究、解决问题。最后，学生豁然开朗，原来影响多边形面积的因素除了有边上钉子数，还有内部钉子数，继而根据这一发现完善规律。

在学生以为探究结束的时候，教师需要继续追问：“大家都发现了这一规律，那之前的结论就一定正确吗？”学生会马上反应过来，不一定，还要验证。于是在这样“一波三折”的规律探索中，学生不断经历“观察、比较、猜想、验证”的过程。（教师引导学生主动核查，使学生通过前后对比发现问题在于内部钉子数的不同）

2.2.2  研究a>1的情况

在有内部钉子数是1枚的规律探索的经验和基础之上，对多边形内部钉子数是2枚的规律的探索就能水到渠成。以小组形式让学生进行独立研究，如果学生在探索中遇到困难，教师可帮学生“铺一层台阶”：先用多边形边上的钉子数，观察的商与多边形面积有什么关系。当学生得出结论后，再要求学生验证，经历完整的探究过程。

举一反三，由扶到放，对于内部钉子数是3、4、5枚的情况，就可以完全放手让学生自主设计研究方案，开展小组合作，以此积累探索规律活动的经验。在整个教学中，需让学生反复经历“观察、比较、猜想、验证”的过程。

最后在两个问题的推动下，让学生的探究继续向“高峰”攀登。教师提出问题：“当a=0时， S 与 n 是什么关系？”，更进一步提出：“你能用一个公式归纳出以上所有规律吗？”在此过程中，注重培养学生的代数思维。

3   课后反思

整堂课中，从简单情况入手，在教师的引导下，学生通过数一数、算一算和观察比较，初步发现了 S=n÷2 这一规律，而在验证规律时，又发现了问题，从而进一步完善了规律。最后变化内部钉子数，如2枚、3枚、4枚，引导学生依次深入研究较复杂的情况，反复观察比较，得出一个适用于所有情况的规律，并用字母归纳表述。

以上是笔者通过“钉子板上的多边形”的实践教学研究产生的对数学规律探索教学的一些思考与认识。教无止境，在今后的教学道路上，还需不断探索，如此才能使小学数学规律探索教学有新的突破和进步。

【参考文献】

[1]强震球.《钉子板上的多边形》教学实录[J].教育视界，2016（20）.

[2]刘晓萍，曹志国.对“探索规律”教学的叩问——以“钉子板上的多边形”教学为例[J].小學数学教育，2018（8）.

【作者简介】

马玉婷（1994～），女，汉族，江苏苏州人，本科，二级教师。研究方向：数学教育。