分数阶时变Black-Scholes模型下算术平均亚式期权定价的数值解

孙玉东，杨颜竹

(贵州民族大学 商学院,贵阳 550025)

0 引言

亚式期权最早出现在日本的金融市场上,相比于经典的欧式期权,具备固定执行价格的亚式期权用股票在整个期权存续期内的算术平均值替代股票在交易日当天的市价[1-3],衍生出了一种风险相对较小的金融衍生产品.

由于风险资产的演化呈现复利的动态特征,而亚式期权引入的路径因子是股价的算数均值,这导致亚式期权定价困难,为此许多学者人为地将算数均值修改为几何平均值给出了亚式期权的价格[4-6].由于算数平均值大于等于几何平均值,采用几何平均值计算亚式期权会低估期权值,存在较大的定价误差.

基于此,本节考察算术平均亚式期权定价问题.根据文献[3,7-9]经典的Black-Scholes模型下算术平均亚式期权适合下面的初边值问题：

(1)

其中T表示到期日,r是无风险利率σ(≥0)表示风险资产价值S的波动率,I表示路径累积：

(2)

近些年来,学者们发现金融市场存在分型特征[10-12],这使得算术平均期权适合下面的初边值问题对时间的微分是分数阶的:

(3)

其中0<α≤1,方程(3)中时间微分是右Riemann-Liouville微分,满足[13-14]：

(4)

目前有关算术平均期权的研究多见于数值方法,文献[15]在研究了风险资产随机动态过程的有界性和连续性之后,进行了随机网格划分,并通过Monte-Carlo模拟研究了算术平均亚式期权的价格.文献[8-9]提供了一种半离散网格方法,并给出了网格划分的收敛性和模拟精度,文献[16]则采用柳树法解决了相同的问题.文献[17]利用统计领域中的主成分蒙特卡罗方法,研究了算术平均期权定价问题.

基于以上分析,本文考虑分数阶Black-Scholes模型下的算术平均亚式期权问题,并给出了相应的稳定性和收敛性分析方法.

1 分数阶B-S方程的隐式差分格式

注意式(3)是二维空间变量初边值问题,下面进行降维变换：

(5)

则问题(3)可以转化为下面的一维抛物问题：

(6)

注意由文献[8-9],当I≥KT时：

(7)

从而依据变换(5),容易得到:

(8)

故本文只考虑x>0的情形,进一步利用上式补充x=0的边界条件:

(9)

注意风险资产价格S=0意味着风险资产一文不值,不会再回到市面上进行流通,从而挂钩于该风险资产的亚式期权也作废、一文不值,

(10)

为了方便进行隐式差分,结合式(6)、式(9)以及式(10),将空间变量x进行截断可以得到:

为了适合差分,对抛物初边值问题(3)进一步化简,令t=T-τ则对任意的0<α<1,有:

(11)

进一步作变换U(τ,x)=V(T-τ,x),则模型(6)变化为:

(12)

其中B=lnSB,分数阶微分满足:

注意U(t,x)关于t满足U(t,x)∈C(1),从而令s=τ-η,对任意的0<α≤1,有:

(13)

对时间变量和空间变量进行等距网格划分,令:

τk=kΔt,k=0,1,2,…,N;xi=ih,i=0,1,2,…,M,

其中Δt=T/N和h=B/M分别表示时间步长和空间步长.先对时间变量进行离散,为了提高差分精度选择中心差分格式:

(14)

(15)

(16)

(17)

将式(16)和式(17)代入式(12),有:

(18)

(19)

其中:

(20)

2 可解性和稳定性

本节分析差分格式的可解性和稳定性问题,通过简单的证明可以得到系数bj=(j+1)1-α-j1-α的三个结果[10-12]:

bj>0,j=0,1,…,

(21)

1=b0>b1>…>bk,bk→0,k→,

(22)

(23)

定理1矩阵A是M矩阵,从而差分格式(20)存在唯一解.

证明显然β>0,所以β+α+γ=d>0,这说明矩阵A是M-矩阵,从而A是可逆矩阵.注意差分格式(20)可以写成:

AUk=Kk-1,

(24)

其中Kk-1只与U0,U1,…,Uk-1有关.又因为矩阵A是M-矩阵,显然它也是可逆的,所以由克莱默法则,线性方程组(24)存在唯一解.

(25)

定理2隐式差分格式(19)关于初值无条件稳定.

证明这里采用递推法,当k=1时,注意当h充分小时,α>0,β>0,γ>0,从而利用三角不等式可以得到:

(26)

(27)

整理之后,可得:

(-αim+βim-γim)‖ε1‖≤d‖ε0‖.

又因为βi-αi-γi=d>0,i=1,2,…,M,所以:

‖ε1‖

(28)

假设j=1,2,…,k-1时,‖εj‖≤‖ε0‖,下面对式(25)利用三角不等式进行放大,结合性质(21)～(25),可以得到:

进一步按照范数‖·‖进行放大:

利用假设条件‖εj‖≤‖ε0‖,j=1,2,…,k-1,再结合从而:

重复式(27)～(28)的证明过程可得‖εk‖≤‖ε0‖,从而命题结论成立.

3 数值模拟

在R平台上对差分格式进行数值模拟,其模拟过程分两部分,首先依据式(18)和式(19)对差分格式的精度进行验证;其次对算术平均亚式期权进行数值模拟,考察各个参数对期权价格的影响.

并且收敛精度的数值量化算法表示为:

固定空间节点总数M,并对调EM|N和RM|N中M和N的位置可以得到时间变量的最大误差和收敛精度的模拟方法.

设定α=1,K=2,I=1以及T=10,从图1和图2可以看出当(M,N)→(,)时,差分格式(19)一致收敛,有关收敛性的结果见表1和表2,可以看出有关时间的收敛精度在2附近,这恰好验证了式(18)有关收敛精度的结果.

表1 N=10情形下的误差E(·,M) 和收敛速度RSTab.1 Error E(·,M) and rate RS of convergence in the case of N=10

表2 N=100情形下的误差E(·,M)和收敛速度RSTab.2 Error E(·,M) and rate RS of convergence in the case of N=100

接下来通过隐式差分格式(19)分析参数对期权价格的影响.由图3可以看出,随着风险资产价格S增大期权价值也增大,这与看涨期权的收益情况相符.由图4容易知道,当股票价格关于时间的平均值路径因子I低于KI时意味着股票价格长期处于深度虚值状态,随着t趋于T期权的价值也越低.图5考察了分数阶时间参数α对模拟结果的影响,由于分数阶导数引入了历史梯度导致分数阶时间参数α越小,期权价格变动越平缓.