环上二阶反三角块阵的群逆

2020-06-06生玉秋

湖北民族大学学报(自然科学版) 2020年2期

生玉秋

(琼台师范学院数理系，海口 571127)

0 引言

群逆是广义逆中的D(Drazin)逆的一种特殊情形，它在线性微分方程、遍历链、非遍历链以及吸收链上都有重要应用[1].广义逆的发展日趋多元化,D逆也一样.D逆的定义最初是在一般环和半群上给出的，后面引出两个重要的研究方向,一个是Banach代数、C*—代数或Banach空间的算子的D逆,另一个是各种域、除环或一般环上分块矩阵的D逆[2],在这两个方面都有大量的研究结果，参见文献[3-5].研究二阶分块矩阵的D逆和群逆在1979年就已经开始[1].1983年为了给出一类二阶线性微分方程的解的具体公式，Campbell等[6]在文中提出计算一类二阶分块矩阵的D逆，自此出现了对二阶三角块阵的D逆和群逆的更多研究.记M为(1,1)、(1,2)和(2,1)块位置分别为A、B、C的二阶反三角块阵.对任意的A、B、C来说M的群逆未必存在,或即使存在也很难给出其存在的充要条件和群逆的确切表达式，所以已有的结果多在A、B、C满足一定的关系时研究.与本文相关的结论有：①B=C,B#存在，且BABπ=O时，赵杰梅和卜长江[7]在除环上给出了M#存在的充要条件和M#的具体表达式，曹重光等[8]将此结果推广到了右Ore整区上；②A=BX且秩B≤秩C时，曹重光等[9]在除环上研究了M的群逆问题，随后葛艳玲等[10]将结果推广到了右Ore整区上；③文献[9]还在除环上研究了A=BXC时M的群逆问题.

设R是一个含1结合环，Rm×n表示R上所有m×n阵构成的集合.I代表单位矩阵(其阶数可由上下文得出).对矩阵A来说如果存在矩阵G使得AGA=A,GAG=G,AG=GA,则称A有群逆,并称G是A的群逆.易知，若A有群逆则唯一,记为A#,此时记Aπ=I-AA#.设A∈Rm×n,记R(A)={Ax|x∈Rn×1},Rr(A)={yA|y∈R1×m}.本文将在R上继续研究上面三种条件下M的群逆问题,其中第一种条件下的结果也是对文献[5]和[8]中第二个公开问题的解答.由于一般环上不宜谈秩，故上面的第二个条件换为A=BX,R(B)=R(BC)且Rr(B)=Rr(CB).

1 引理

首先介绍几个后续证明需要使用的结论.

引理1[11]对矩阵M来说，若存在X、Y使得M=M2X=YM2，则M群逆存在.

引理2[12]设M∈Rn×m,N∈Rm×n，若R(M)=R(MNM),Rr(M)=Rr(MNM)，则MN、NM都有群逆，且

1) (MN)#M=M(NM)#; 2) (NM)#N=N(MN)#;

3) (NM)#=N[(MN)#]2M; 4) (MN)#=M[(NM)#]2N.

引理3设C∈Rn×m,B∈Rm×n，若R(B)=R(BC)，Rr(B)=Rr(CB)，R(C)=R(CB)，Rr(C)=Rr(BC)，则BC、CB都有群逆，且C(BC)π=O=(CB)πC,B(CB)π=O=(BC)πB.

证明由R(C)=R(CB),Rr(C)=Rr(BC)可知存在Z1、Z2使得CBZ1=C=Z2BC.同理可知存在Z3、Z4使得BCZ3=B=Z4CB.于是CB(CBZ1)Z3=C(BCZ3)=CB=(Z2BC)B=Z2(Z4CB)CB，BC(BCZ3)Z1=B(CBZ1)=BC=(Z4CB)C=Z4(Z2BC)BC.

由引理1知BC、CB都有群逆，且B(CB)π=B-B(CB)#CB=B-Z4CB(CB)#CB=B-Z4CB=O,C(BC)π=C-C(BC)#BC=C-Z2BC(BC)#BC=C-Z2BC=O.

类似可得(CB)πC=O,(BC)πB=O.