基于岭回归算法自动优化既有铁路曲线的研究

路 晨，沈 勇，单 泽

(云南民族大学 电气信息工程学院，云南 昆明 060500)

铁路既有曲线的整正是既有铁路线路养护维修的重要组成部分，既有曲线整正是需要根据线路的实测数据拟合出一条与其最为贴合的合理曲线[1].目前较为常用的方法有：偏角法、绳正法、坐标法等[2-3]，这些方法都是通过计算测点与实际曲线点的差值来得到该点处的拨道量；一般而言这些方法适用于人工拨道作业.当采用捣固车作业时，这些方法与捣固车作业模式不太一样，因此有必要设计一种合理算法，能够处理捣固车在测量模式取得的实测数据，得到能够供捣固车作业的线路数据.

1 捣固车作业特点

捣固车测量的线路数据不同于人工测量数据，其主要特点是:

1) 测量弦与人工测量弦不一样.人工测量是在弦的中间测量正矢，捣固车采用前后不等长弦测量矢距.

2) 采样点密度不同.人工测量一般采取半弦长测量一个点；捣固车一般采取每0.1～1 m测量1个点，多数是1 m一个测量点.

3) 捣固车测量效率和精度优于人工测量，人为误差因素较少.

4) 捣固车可以同时测量矢距、左、右纵平、超高等参数，文中仅探讨拨道矢距的优化计算，其余参数算法类似.

在铁路线路中，用来描述曲线方向特征的坐标系通常有以下几种表述形式：位置-距离坐标系、曲率-距离坐标系、正矢-距离坐标系[1,3-4].位置-距离坐标系、曲率-距离坐标系、正矢-距离坐标系三者的关系如图1所示.

由图1可知：在位置-距离坐标系中主要反应的是既有铁路曲线的形态和方向.在曲率-距离坐标系中，反应的是该条铁路曲线的曲率变化趋势，可以看到，在直线段上，曲率为0；在缓和曲线段上，曲率呈线性变化；在圆曲线段上，曲率为一定值[6].在正矢-距离坐标系中可以看到，正矢与曲率是成正比关系的.

采用捣固车的“测量运行”模式，捣固车用作业弦系统测量线路的矢距，测量点的密度可以在0.1～1 m 之间选取，一般选用 1 m，高精度测量选用 0.1 m.测量速度可达5～10 km/h. 以下是某次测量的一些样本数据,部分数据如表1所示.

表1 部分实测数据 m

2 岭回归算法研究

本文作者研究了多种线路拟合算法，目的是：要从这一系列数据中找到它们对应的函数表达式，从而得到曲线拟合方程[7-8,13].这个规律等同机器学习中回归的概念，所以设想运用机器学习算法中的岭回算法进行尝试.对实测数据进行拟合处理.发现运用岭回归算法对既有线路实测数据拟合有下列优点.

1) 该算法可以自动识别直线段、缓和曲线段以及圆曲线段，不需要进行人为的分段处理.

2) 可以通过简单控制惩罚项λ值来控制曲线平滑程度.

(1)

用矩阵表示为[9]

(y-Xw)T(y-Xw)

(2)

如果对w求导，得到

XT(Y-Xw)

(3)

令其等于零，解出w为

(4)

(5)

其中W是一个矩阵，用来给每个数据点予权重[9].

但LWLR方法不是普遍适用的，因为上述公式包含逆矩阵,所以这个方程只在逆矩阵存在的时候适用，而针对本论文中的数据在进行数据处理时会出错，为了解决这个问题，本论文用岭回归(ridge regression)进行线路曲线整正.岭回归是在矩阵XTX上加上一个λI从而使得矩阵非奇异，进而能对XTX+λI求逆.其中I是1个m×m的单位矩阵，对角线上元素全为1，其他元素全为0.λ是1个用户定义的数值，通过引入λ可以限制所有w之和，通过引入该惩罚项，能够减少不重要的参数，从而达到更好的预测效果.在这种情况下，回归系数的计算公式将变成：

(6)

通过采用岭回归算法对铁路既有曲线实施了自动优化处理，使得曲线不需要经过人工分段便可自动识别出直线段、缓和曲线段以及圆曲线段，通过不同的采样密度，分析了惩罚项λ与采样点密度之间的关系，以及惩罚项λ与曲线平滑程度之间的关系，并通过拨道量的大小以及拟合曲线的平滑程度来分析拟合结果的优劣.

3 实例分析

3.1 每8 m设一分段点为例

将该段既有铁路曲线按每8 m为一段进行分段处理，并对每一段使用岭回归算法进行曲线拟合，分别采用不同的λ值从而得到不同的拟合结果，拟合结果如图2所示.

通过对拟合结果进行方差的求解，从而计算出每一个测点的拨道量(如图3所示)，通过对拟合结果进行求导，从而计算出拟合曲线曲率的变化情况(如图4所示).

如拨道量计算结果图可知，当λ=1时，虽然曲率的变化情况是最平缓的，但是在8，9，15，18附近的拨道量会很大，尤其是15，18附近，这两点附近对应在实际铁路曲线的位置是缓直点(HZ点)附近，所以在缓直点附近的拨道量会比较大，在缓圆点(HY点)附近的拨道量也相对较大；当λ=0.1时，曲率的变化情况和拨道量的变化与λ=1时的曲率变化情况和拨道量变化情况差别不大；当λ=0.01时，曲线总体较为平滑，且在缓圆点和缓直点附近的拨道量较小，拟合效果不错；当λ=0.001时，整体拟合效果与λ=0.01时的效果近似，但是其拨道量较λ=0.01时的拨道量大为减小，曲线的曲率变化情况也相对相对平稳，拟合效果最佳；当λ=0.000 1和λ=0.000 01时，虽然拨道量几乎为0，但是曲率变化情况波动较大，尤其在93～109 m处，即圆缓点处的波动较为剧烈，存在过拟合的现象.

3.2 每16 m设一分段点为例

与每8 m设一分段点类似，将该段既有铁路曲线按每 16 m 为一段进行分段处理，并对每一段使用岭回归算法进行曲线拟合，分别采用不同的λ值从而得到不同的拟合结果，拟合结果如图5所示.

当λ=1时，由图7可知，曲率的波动量很小，拟合曲线平滑程度很好，但由图5可知，拟合曲线与实测数据误差较大，由图6可知，在7～10段(即从圆缓点附近开始，经第2段缓和曲线段到缓直点附近结束)的拨道量最大；当λ=0.1时，由图7可知，曲率的波动量也很小，由图6可知，虽然拟合曲线的拨道量比λ=1时要小，但是由图5知，拟合曲线可大体反应出实测数据的变化趋势，但在直缓点、缓圆点、圆缓点、缓直点附近并没有得到很好的拟合结果；当λ=0.01时，由图5可知，拟合曲线基本反应出实测数据的变化趋势，与原数据拟合效果较好，由图6可知，曲线的拨道量总体较小，波动较大的位置在圆缓点-缓和曲线-缓直点段，曲率的变化量相对较小；当λ=0.001时，由图5可以看出在直线段、缓和曲线段和圆曲线段的拟合效果很好，并由图6和图7可以看出，曲线的拨道量小且曲率波动量也不是很大，所以拟合效果最好；当λ=0.000 1和λ=0.000 01时，虽然拟合效果与实际数据点最贴合，且拨道量几乎为零，但曲率变化情况比λ=0.001时的曲率波动要稍大.

3.3 每 32 m 设一分段点为例

将该段既有铁路曲线按每 32 m 为一段进行分段处理，并对每一段使用岭回归算法进行曲线拟合，分别采用不同的λ值从而得到不同的拟合结果，拟合结果如图8所示.

当λ=1时，由图9和图11可以看出，拟合曲线的拨道量较其他λ系数最大，波动最大的地方从圆曲线开始，经圆缓点、缓和曲线到缓直点结束，但是由图8可以看出，拟合曲线与实际数据误差较大，拟合效果不理想；当λ=0.1时，由图9和图10可以看出，虽然曲率变化和拨道量都不是很大，但由图8可以看出，拟合曲线只能大致反应出实际数据的变化特征，与实测数据并不是很贴合；当λ=0.01和λ=0.001时，由图8可以看出，拟合曲线于实测数据较为贴合，由图9和图10可知，曲率变化和拨道量都不是很大，拟合效果良好；当λ=0.000 1和λ=0.000 01时，由图8可知，拟合效果基本与λ=0.001时的效果相同，但是由图9可知，其曲率变化情况比λ=0.001时的曲率变化要大.

3.4 不同采样点对曲线拟合结果的影响

当引入的惩罚项λ相同时，取不同采样点对曲线拟合结果的影响分析如下.以λ=0.001为例，分别对既有铁路曲线以8、10、12、14、16、32 m 为一段进行分段处理.

由图11可以看出，当引入的惩罚项λ相同时，拨道量的最大值随着采样点数的增加而增加，以λ=0.001为例，采取每8、10、12、14 m为一段进行曲线拟合时，拨道量的最大值虽稍有增加，但变化不大，但当采取16、32 m为一段进行曲线拟合时，拨道量的最大值明显增加，且由图8可以看出，采取每32 m为一段进行曲线拟合的效果并不理想，由图12可以看出，采取32 m为一段进行曲线拟合时，所得结果曲率波动变化较大，效果不理想，采取14 m为一段进行曲线拟合时，在缓圆点附近曲率波动较大，采取每每8、10、12 m为一段进行曲线拟合时的曲率变化较为接近，效果良好.

3.5 不同测点拟合效果比较

由上述分析可知，通过对比某段铁路既有曲线取不同长度的分段、引入不同惩罚项λ值可知，不论取每8 m一段、每16 m一段、还是每32 m一段，当λ的值取0.001时的曲线拟合效果最佳；当λ的取值一定时，采取每8～12 m左右为一分段点所得的拟合效果最好，当采取每16 m一段时，拟合结果改变了各关键点(直缓点、缓圆点、圆缓点、缓直点)处的实测值，当采取每32 m一个分段点时，拟合效果不是很理想.

4 结语

本文以捣固车实际作业所采集到的某条既有铁路曲线的实测数据为例，采用正矢-距离坐标系为参考系，通过编程对实测数据所得曲线的特征进行分析，提出采用机器学习中岭回归算法对实测数据进行曲线拟合，并通过对比不同采样点及不同λ系数对实际曲线的拨道量及曲率变化情况，得出当采样点相同而λ值不同时，λ值为0.001时的拟合效果最佳；当采样点不同而λ值相同时，取8 m为一个采样点所得拟合效果最佳的结论.通过实例分析得出，通过使用人工智能算法探索整正铁路既有曲线是可以实现的，而且整正效果尚可.