网格助解三角函数问题

文 季承洁

（作者单位：江苏省东台市实验中学教育集团城东分校）

初中数学中锐角三角函数是建立在直角三角形的基础上定义的。但近年来的中考三角函数试题常常脱离直角三角形，需要我们利用网格的特征去构造直角三角形，对转化能力有更高的要求。下面以2018年扬州市中考第27题为例剖析，希望能给同学们一点启示。

问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值。

方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形。观察发现问题中的∠CPN不在直角三角形中。对此，我们常常利用网格画平行线等方法解决，比如连接格点M、N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中。

问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 ；

图2

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值。

思维拓展（3）如图 3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P。用上述方法构造网格求∠CPN的度数。

图3

【分析】第（1）问中点P为非网格点，∠CPN也不在直角三角形中，如果直接作垂线构造直角三角形，求线段的长度有难度。方法归纳提示我们将CE平移，使得它与DN的交点恰好是格点，再利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”解决问题。

第（2）问中，点P也是非网格点，∠CPN也不在直角三角形中，根据方法归纳，我们需要将CM（AN）进行适当的平移，使得它与AN（CM）的交点恰好是格点，再利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等（内错角相等）”解决问题。

顺承问题的思路，第（3）问要求我们构造网格图去解决问题。我们可以利用网格，构造等腰直角三角形即可。

解：（1）如图 1，由勾股定理，得DM=

∴△DMN为直角三角形，

（2）方法一：如图4中，平移AN到CD，连接DM。

图4

图5

∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM。

∴DM2+CM2=CD2，

∴△DCM是等腰直角三角形，

∴∠DCM=∠D=45°，

方法二：如图5，平移CM到AE，连接EN。同方法一，可求得cos∠CPN=cos∠EAN。

（3）方法一：如图6，根据题意，以BC长为单位构造正方形网格，平移CM到AF，连接FN。

图6

方法二：如图7，根据题意，以BC为单位构造正方形网格，平移CM到EN，连接AE。

图7

∵CM∥EN，∴∠CPN=∠ANE。

【点评】本题是一道综合性的阅读理解题，属于中考压轴题。它考查了平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数等知识。解题的关键是巧构直角三角形，而后进一步利用数形结合、转化以及“从一般到特殊”的数学思想思考问题，这样问题就会迎刃而解。