“概率”中的高频错解

文 周晓兰

（作者单位：江苏省无锡市梅梁中学）

一、利用频率估计概率

例1在一个黑色的布袋里装有四个乒乓球，其中标号为1、2的是两个白球，标号为3、4的是两个黄球，这四个球的形状、大小、质地完全相同。将这四个球充分搅匀，小芳从这个布袋里摸出一只球后，记下标号，放入布袋充分搅匀后再摸，重复10次，其中摸出标号为1的球5次，那么小芳第11次摸出标号为1的球的概率是多少？

【错解】。

【分析】错解计算的是前10次摸出标号为1的球的频率。只有当试验次数足够大时，才可以用频率估计概率，所以不能用作为事件发生的概率。

【正解】。

【点评】用事件发生的频率来估计事件发生的概率所需要的条件，是“在同样条件下，大量重复试验时”。10次试验显然是随机事件，所以第11次事件发生的结果与前面是无关的。

二、不清楚“放回”与“不放回”

例2某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品。如果小芳一次摸出2个球,求小芳获得2份奖品的概率。（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程。）

【错解】

共有16种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为4，所以P（获得2份奖品）。

【分析】有的同学没有弄明白这里的“摸出2个球”是放回问题还是不放回问题。这里的“摸出2个球”是一次摸出的，所以是不放回问题。

【正解】

共有12种等可能的结果数，其中一次摸到2个红球的结果数为2，所以P（获得2份奖品）=。

三、三步及三步以上试验中概率的求解方法

例3甲、乙、丙三人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将三件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件。设甲、乙、丙三人抽到的都不是自己带来的礼物，记为事件A，求事件A的概率。

【错解】记甲、乙、丙三个人为A、B、C，他们各自的礼物记为a、b、c，则有

共有9种等可能的结果数，其中“甲、乙、丙三人抽到的都不是自己的礼物”有6种等可能的结果，∴P（A）=。

【分析】事件A涉及三个因素，将题目中的文字信息用相应的字母代替，这样解题能体现“符号化”的优势，但是树状图中的因素是礼物，不涉及人。这道题属于不放回的问题，因为有三个人，所以要分三个阶段完成。

【正解】记甲、乙、丙三个人各自的礼物为a、b、c，则有

共有6种等可能的结果数，其中“甲、乙、丙三人抽到的都不是自己的礼物”有2种等可能的结果。

【点评】当涉及三步试验时，利用“树状图”能帮助我们不重不漏地列出所有等可能的结果。通过此题我们可以发现，当遇到要经过多个步骤才能完成的概率题时，用树状图法会更有效。