“因式分解”易错点辨析

文郝金良

整式乘法与因式分解是基本而重要的代数初步知识，是进一步学习分式和根式运算、函数等的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，也是学习物理、化学等其他学科时，不可缺少的数学基础知识。

对于整式乘法的学习，因为有了整式加减的学习经验，同学们可以很容易地完成类比和迁移，将有理数乘法的研究思路和方法，与整式乘法联系起来，将“数”的运算扩充到“式”的运算。但对于因式分解，很多同学却难以理解。因为因式分解不属于“式”的运算，而是从“逆向”的角度进行“式”的恒等变形。只有弄清因式分解的本质，才能避免混淆。下面对常见错误类型进行归纳，以帮助同学们加深理解，提高解题能力。

一、概念理解要清晰，由“和”到“积”莫模糊

例1 因式分解：

（1）（x+y）2-x2；（2）x2-4x+4。

【错解】（1）原式=（x+y+x）（x+y-x）

=（2x+y）y=y2+2xy。

【错因】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是由“和”到“积”的过程。由（1）可以发现，该同学会用平法差公式进行因式分解，但在求得结果后，该同学又进行了整式的计算，将“积”的形式又化为了“和”的形式。由（2）可以发现，该同学直接进行了提取，但剩余的多项式并不是整式。这两种错误，本质原因是对因式分解的概念不清楚。

【正解】（1）原式=（x+y+x）（x+y-x）=（2x+y）y。

（2）原式=（x-2）2。

二、公因式要找准，全部提取莫漏“1”

例2 因式分解：

（1）6m2n-9mn；（2）（a+b）2-a-b。

【错解】（1）原式=mn（6m-9）。

（2）原式=（a+b）2-（a+b）

=（a+b）（a+b）

=（a+b）2。

【错因】提公因式法是最基本的，也是最重要的因式分解的方法。由（1）可以发现，提公因式时，对数字系数和字母应分别进行考虑。如果是整数系数，就应该提最大公约数。为避免错误，在学习的前期，同学们可以把公因式单独写出来，以示醒目。由（2）可以发现，提公因式的本质是逆用乘法分配律，所以对一项进行整体提取后，还剩“1”，这里一定要避免漏项。我们可以在因式分解完成后，按照整式乘法，把因式再乘回去，看结果是否与原式相等。如果相同就说明没有漏项，否则就漏项了。

【正解】（1）6m2n-9mn=3mn（2m-3）。

（2）（a+b）2-a-b=（a+b）（a+b-1）。

三、套用公式要谨慎，认清a、b是前提

例3 因式分解

（2）（4a2+b2）2-16a2b2。

【错解】（1）原式

（2）原式=（4a2+b2）2-（4ab）2

=（4a2+b2-4ab）2=（2a-b）4。

【错因】对于（1），该同学可以根据平方差公式进行因式分解，但对于平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的运用出现了错误，没有认清多项式中的a、b。本题应先转化的形式。然后我们可以很容易发现，公式中的“a”，再套用公式，就不易出错。对于（2），该同学混淆了平方差公式与完全平方公式，错误地认为a2-b2=（a-b）2。本质上还是对公式的理解不够透彻，对公式的认识仅仅停留在记忆层面，对公式的运用仅仅停留在“临摹”阶段，没有完全掌握公式的模型特征，更谈不上主动变形建模。

【正解】

（2）（4a2+b2）2-16a2b2=（4a2+b2）2-（4ab）2

=（4a2+b2+4ab）（4a2+b2-4ab）

=（2a+b）（22a-b）2。

四、恒等变形有技巧，分解一定要彻底

例4 因 式 分 解 ：（2）-12+12x4。

【错解】（1）错误1：原式；错误2：原式=-a2b2+4ab-4=-（ab-2）2。

（2）原式=12（x4-1）=12（x2+1）（x2-1）。

【错因】对于（1），错误1和错误2都是没有理解因式分解的恒等变形本质。错误1直接改变了式子整体的符号；错误2将式子整体扩大了4倍。此题因式分解的难点在于前后有两个“-”号，因此，可以提取因数“-1”，也可以提因数“，以实现转化的目的。（2）的主要问题是分解不彻底，因式分解的结果中含有还能再分解的因式。这种情况一般出现在提公因式或者利用公式完成第一步分解后。所以同学们在完成分解后，一定要对结果进行思考，看看还能否用其他方法进行因式分解，直到不能再分解为止。

【正解】（1）解法1：原式

（2）原式=12（x4-1）

=12（x2+1）（x2-1）

=12（x2+1）（x+1）（x-1）。