从二次函数角度理解函数恒成立和存在性问题

摘要：高中数学中，函数一直是教学中的重点，也是难点，尤其是函数中的恒成立问题和存在性问题.很多看似复杂的函数问题，都可以通过分析，转化成恒成立问题或者存在性问题. 本问题以我们熟悉的二次函数为例，来分析恒成立问题和存在性问题，理解恒成立问题和存在性问题的本质，进而研究更为复杂和隐含的函数问题.

关键词：高中函数 恒成立问题 存在性问题

高中数学中，函数一直是教学中的重点，也是难点，尤其是函数中的恒成立问題和存在性问题. 我们从高二下学期开始接函数中的导数内容，利用导数工具来研究函数的性质，特别是一些复杂的函数，如超越函数. 在实际教学中，如果题目中只让求函数的单调性，最值，即使是比较复杂的函数，借助导数工具，我们是可以完成的. 可是，函数问题通常需要将问题等价变形，转化成求利用导数求函数的最值问题，例如函数中的恒成立问题和存在性问题，这才是难点和痛点. 如何突破呢？函数贯穿于中学数学的始终，对于函数中的恒成立问题和存在性问题，能否从高一就开始渗透它的思想方法，慢慢突破呢？其实，这个问题，高一就有涉及. 下面，以熟悉的二次函数为例，从二次函数角度出发，理解函数中的恒成立问题和存在性问题.

一、函数中的恒成立问题

例1 一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围.

本题出自新教材课本必修一58页的练习题6.

分析 首先我们把问题归类，这是数学中的哪一类问题？从不同的角度出发，导致解法不一样. 本题有两个思路：一是一元二次不等式问题，二是函数中的恒成立问题.

思路一 一元二次不等式问题

分析 借助于二次函数图象，数形结合，解一元二次不等式. 题目中要求一元二次不等式的解集为，因此，对应二次函数图象需满足开口朝下，与x轴无交点.

分析 从函数的函数值角度理解不等式问题，的解集为，即对任意，函数的函数值小于0恒成立. 要求所有的函数值都小于0，显然无法实现把所有的函数值都算出来，让其都小于0的操作. 怎么办呢？仔细分析，我们只需让函数的最大值小于0即可. 因此，将问题转化为求函数的最大值，且最大值小于0.

从函数的函数值角度理解例1，它是函数中的恒成立问题，以例1为例，函数中的恒成立问题可以转化为求函数的最值问题. 我们也可将题目中的的范围缩小，例如，任意，一元二次不等式恒成立. 此题如果按照思路一的解法，从一元二次不等式角度理解，问题不容易解决. 如果按照思路二的解法，从函数的恒成立问题理解，则问题比较容易解. 题变理不变，那么问题就转化为求函数在区间上，函数的最大值问题.

从我们熟悉的二次函数入手，理解函数中的恒成立问题，将其转化为求相应函数的最值问题. 因此只要会求函数的最值，恒成立问题就可以解决. 函数的恒成立问题，涉及数学中的“无穷”问题，通过上述转化，我们将无穷问题转化为具体可操作的有限过程，这就是数学的力量.

二、函数中的存在性问题

例2 若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.

从函数角度理解例2，它是函数中的存在性问题，以例2为例，函数中的存在性问题也可以转化为求函数的最值问题.

从我们熟悉的二次函数入手，理解函数中的存在性问题，将其转化为求相应函数的最值问题. 因此只要会求函数的最值，存在性问题就可以解决.

上述问题中的例1和例2是函数中的恒成立问题和存在性问题，以我们熟悉的二次函数为载体，通过分析，将其转化为二次函数的最值问题，便于理解与接受. 希望通过这样的分析，为后续遇到的复杂函数的恒成立问题和存在问题奠定基础.

东北师范大学附属中学朝阳学校， 肖志伟 北京