四体耦合腔阵列体系的PT相变及单光子传输

郭 静, 朱红波

(东北师范大学 物理学院, 长春 130024)

不完全PT对称[1]的非厄米系统具有自发PT对称性破缺的特性.当系统参数调制到某一特定值或处于某一范围时, 系统会发生PT相变.即原来处于PT对称相变的体系将处于PT对称破缺相, 其能量本征值由PT对称相时的实数变为复数.特定的参数值或范围即为系统的PT对称相变点.当参数大于相变点时,PT对称的非厄米Hamilton量的本征值全部为实数, 此时系统处于PT对称相； 当参数小于相变点时, 系统处于PT对称性破缺相.PT对称理论在光学领域应用广泛[2-9], 目前PT相变已引起人们广泛关注[10-13].本文考虑PT对称的四体耦合腔系统, 分析该体系的PT相变及单光子传输.

1 体系模型与PT相变

PT对称的四体耦合腔阵列系统如图1所示.由图1可见, 具有光场耗散和增益的腔分别为“-1”腔和“1”腔.若仅考虑相邻腔间的线性耦合, 则耦合系数均为J.

当ħ=1时， 体系的Hamilton量为

图1 PT对称的四体耦合腔阵列系统Fig.1 Four-body coupled cavity array system with PT symmetry

其Hamilton量的矩阵形式为

(3)

其中

(4)

解久期方程det(H0-EI)=0可得Hamilton量H0的本征值(相互作用表象下)及相应的本征态为

(5)

其中N1,N2,N3,N4为归一化常数, 各分量的一般表达式为

(6)

图2 体系能量本征值的特点及本征态|E2〉在各腔的相对几率分布Fig.2 Characteristics of energy eigenvalues of system and relative probabilities distribution of eigenstate |E2〉 in each cavity

因此光子将从增益腔转移至耗散腔(“-1”腔)和“-2”腔, 即光子会局域化在耗散腔和“-2”腔； 当J>γ时, 系统处于PT对称相, 光子出现在增益腔的几率逐渐减小, 由于

因此光子在4个腔中是对称分布的.PT对称的四体耦合腔阵列中单光子局域化腔及光子传输特性列于表1.

表1 PT对称的四体耦合腔阵列中单光子局域化腔及光子传输特性

2 单光子传输

随时间变化的波函数表达式为

|ψ(t)〉=α(t)|1000〉+β(t)|0100〉+ξ(t)|0010〉+η(t)|0001〉,

(7)

其中|1000〉、|0100〉、|0010〉和|0001〉分别表示单光子在“-2”腔、“-1”腔、“1”腔和“2”腔中.将共振情形的Hamilton量式(2)和式(7)代入Schrödinger方程中, 可得：

(8)

下面由式(8)分别讨论系统处于PT对称相及PT对称性破缺相时单光子的传输特点.

2.1 单光子在PT对称相中的传输

当系统处于PT对称相时, 耦合系数J和增益率(耗散率)γ满足J>γ, 考虑初始时刻单光子在耗散腔(“-1”腔)中, 则有

α(0)=ξ(0)=η(0)=0,β(0)=1,

计算可得光子在4个腔中出现的几率幅(下角标s表示系统处于PT对称相)为

(9)

其中:

(10)

初始时刻将光子制备在增益腔(“1”腔), 此时

ξ(0)=1,α(0)=β(0)=η(0)=0,

用相同方法可得任意时刻光子在各腔的几率幅为

(11)

图3 在耗散腔制备单光子且系统处于PT对称相时光子处于各腔的几率Fig.3 Probabilities of photon in each cavity when single photon is prepared in dissipative cavity and system is in PT symmetric phase

图4 在增益腔制备单光子且系统处于PT对称相时光子处于各腔的几率Fig.4 Probabilities of photon in each cavity when single photon is prepared in gain cavity and system is in PT symmetric phase

2.2 单光子在PT对称性破缺相中的传输

当J<γ时, 系统处于PT对称性破缺相.考虑初始时刻单光子处于耗散腔中, 则有

αb(0)=ξb(0)=ηb(0)=0,βb(0)=1,

光子在4个腔中出现的几率幅αb(t),βb(t),ξb(t)，ηb(t)与式(9)中αs(t),βs(t),ξs(t)，ηs(t)的表达式相同.考虑初始时刻单光子在增益腔中, 则有

当光子在耗散腔的几率减小时, 其他3个腔中光子的几率增加.光子在传输过程中的几率大于1是由于增益所致.从各腔中光子存在的几率随时间变化可见, 单光子是双向传输的.

图5 四体耦合腔系统处于PT对称性破缺相时的单光子传输Fig.5 Single photon transmission in four-body coupled cavity system with PT-symmetric broken phase

当系统处于PT对称相且为对称性破缺相时, 单光子均具有双向传输的特点.随着时间的增加, 增益腔和“2”腔会更早、更容易发现光子, 这是由于腔场的增益所致, 可调节不同增益(耗散)强度比较某个特定腔中光子出现几率为1的先后顺序, 各腔均会出现光子几率较大的情形.

综上, 本文研究了PT对称四体耦合腔阵列系统中的光子传输行为, 体系由具有对称增益和耗散的四腔耦合而成.结果表明： 当耦合系数和增益率(耗散率)满足J>γ时, 系统处于PT对称相, 能量本征值均为实数, 光子分布呈明显的对称性； 初始时刻将单光子置于增益腔或耗散腔, 单光子均具有双向传输的特点； 当J=γ时, 体系由PT对称相变为PT对称性破缺相； 当J<γ时, 该体系的4个能量本征值均为复数, 光子分布的对称性被打破, 同时出现局域化现象, 单光子具有双向传输的特点.