让数学实验自然融入常态教学

张世钦

摘 要 数学实验教学“常态化”的一个误区，是把实验僵化为一个教学环节，“为实验而实验”. 数学实验只有自然融入到常态教学 的整个过程当中，与具体教学内容有机结合，才能更好地体现其教学功能与育人价值.实现“自然融入”的关键，是让数学 实验在学生的认知过程中体现出适切性与必要性.

关 键 词 数学实验;自然融入;常态教学;课例

笔者在线观摩了一个数学实验教学网络研讨活 动，活动的主题是“数学实验与核心素养”，旨在推动 两个方面的探讨：一是数学实验在发展学生数学核心 素养方面的功用与价值;二是如何将“数学实验”融入 常态课的教学中.在课堂教学展示环节，一位教师以 “等腰三角形的轴对称性”（人教版《数学》八年级上册 第十三章第3节）这节内容为例，进行了课堂教学展 示.受活动主题的启发，笔者在课例分析的基础上，从 以上两个方面对数学实验教学进行了思考.

一、课例简要回放

环节一：引入概念

执教者先引导学生回顾“三角形”的概念及性质， 然后由一般三角形过渡到“特殊三角形”（等腰三角 形）.学生都能说出等腰三角形的定义：有两条边相等 的三角形叫做等腰三角形.

环节二：性质猜想

引入概念并明确定义之后，执教者让学生画一个 等腰三角形并观察、猜想其性质.学生在教师引导下 获得如下“猜想”：1等腰三角形是轴对称图形;2等腰 三角形的两个底角相等;3等腰三角形底边上的高、中 线与顶角平分线重合（三线合一）.

环节三：数学实验

“这些猜想是否正确呢？我们可以通过数学实验 来验证.”执教者由此引出数学实验.

实验活动1：在一张形状不规则的毛边纸上，折叠 出一个等腰三角形.说一说你的折叠方法及理由.

很快，就有学生想到方法并展示操作：先将毛边 纸对折一下，得到一条直边，然后再对折使直边对齐 得到一个直角，将这个直角顶点向内任意翻折一下，

展开就会得到一个等腰三角形（. 如图 1）

实验活动2：用剪刀把刚才折叠得到的等腰三角 形剪下来，然后通过实验操作来验证“猜想1”.

一名学生到讲台上展示：将等腰三角形沿一条线 叠之后，两边完全重合，说明等腰三角形是轴对称 图形.

实验活动 3：利用手头的等腰三角形纸片，验证 “猜想2”（等腰三角形两个底角相等）.

学生沿对称轴折叠，发现两个底角重合，验证了 “等腰三角形的两个底角相等”.

实验活动 4：利用手头的等腰三角形纸片，验证

“猜想3”（等腰三角形“三线合一”）.

沿对称轴折叠，顶角的两边重合，说明折痕与顶 角平分线重合;沿对称轴折叠，底边的两端重合，说明 折痕又与底边上的中线、高线重合.由此验证了“三线 合一”.

实物验证之后，执教者还为学生提供了“几何画 板”（计算机软件）验证.

实验活动5：利用几何画板软件验证“猜想2”.

一个等腰三角形，在保持等腰特征不变（“几何画 板”中设置顶点为底边中垂线上的点）的情况下，让学 生上下拖动顶点位置.可以发现：随着两腰长度（度量

值显示）的变化，两个底角度数（度量值显示）也在变 化但是始终相等.

实验活动6：利用几何画板软件验证“猜想3”. 任意一个三角形，沿着平行于对边的直线移动一 个顶点，只有当另外两边长度恰好相等（即图中AB = AC）的时候，才出现''三线合一”的情形.（如图2）

图

环节三：推理证明

执教者指出：'通过数学实验验证是不够的，数学 结论最终还是要通过推理来证明.”接下来，将两个命 题具体化为证明题.结果发现，学生轻而易举地给出 了证明，甚至每个命题都给出多种证明方法……

环节四：定理运用（略）

二、课例分析

1“. 为实验而实验”导致认知过程逻辑混乱

分析上述课例中的几个'实验活动”可以发现，执 教者设计'实验活动1”的目的是通过'实验”的方法获 得一个等腰三角形，为下一步实验验证提供具体的实 验材料.然而，从认知顺序来看，这个'为实验”而设计 的实验活动事实上造成了知识学习的逻辑混乱 . 因为 这里所用的'折叠”的方法，其本质就是运用了等腰三 角形的轴对称性，初中阶段对轴对称（反射变换）的定 义就是'一个图形沿某条直线对折之后，折线两侧的 部分能完全重合” '. 实验活动1”用折叠后剪切展开得 到等腰三角形，然后在'实验活动2”中又通过折叠重 合去验证'等腰三角形是轴对称图形”，这就相当于逻 辑上循环论证（由折叠剪切得到的三角形当然折叠重 合）.事实上，从客观的知识结构上来看，等腰三角形 的两个性质定理（即课例中的两个'猜想”）其实都是 源自于等腰三角形的轴对称性.如果把'等腰三角形 是轴对称图形”作为对等腰三角形的一个定性描述的 话，那么两个性质定理其实就是更进一步的定量刻 画.课例在对称性'实验验证”上的逻辑混乱，使得认 知顺序没有体现知识之间的内在联系，对称性在前后 知识上的主线作用没有凸显出来，学生对等腰三角形 轴对称性的理解缺乏概念角度的认识支撑，未能从概 念的本质特征上思考为什么'折叠重合”.

1. 数学实验呈现出“初中教学小学化” 在引入概念之后，学生都能准确地说出等腰三角 形的定义，甚至，在实验活动1中，大部分学生也都能 想到折叠方法.为什么会这样？主要是因为学生在小 学阶段有过等腰三角形及轴对称概念的学习.由于小 学阶段的几何学习主要是'实验几何”，类似上述课例 中的实验活动，特别是实验活动2和实验活动3（折叠 验证等腰三角形的轴对称性），学生在小学阶段都是 做过的（据笔者对所在学校七年级新生的调查）.在这 样的情况下，初中阶段再对等腰三角形的'折叠重合” 和'两个底角相等”进行实验验证，是没有必要的.把 这样的'验证”活动再一次引入课堂并且作为一个固 定环节，其实就是罗增儒教授所说的'初中教学小学 化”^[1].数学教学是思维的教学，因此，数学实验设计 与安排的基本原则应该是对学生的思维调动.喻平教 授指出 ：'数学实验教学将动手操作和动脑思考有机 结合在一起，实践性和操作性是它的外部特征，通过 实验活动促进学生思维的发展则是数学实验的核心 和最终归宿.”^[2]如果一个实验活动没有思维挑战性、 缺乏思维调动或者促进作用，那么它也就失去了实验 价值.就笔者对课例的观察，在后续的'推理证明”环 节（特别是两个底角相等的证明过程中），大部分学生 都能很快想出不止一种证明方法，说明学生仅仅通过 头脑中的表象操作就能验证猜想并获得证明思路，教 师努力推销的以动手为特征的'数学实验”反而让学 生觉得既低级又无趣.
2. 数学实验被僵化为一个教学环节 从教学流程上来看，执教者为学生设计的认知顺 序是'概念建构—性质猜想—实验验证—推理证明— 巩固应用”.的确，这样认知流程体现了数学研究的 '基本套路”.但是，如果教师在设计数学实验的时候 缺乏对具体内容及学生认知现实的分析，把数学实验 僵化为一个教学步骤与环节，那么数学实验的实际价 值与作用，就可能大打折扣甚至完全不能体现出来. 喻平教授认为 ：'数学实验教学本质上是以数学问题 为出发点，以获得数学结果为目标，充分展示探究过 程的实践活动.”^[3]這就是说，数学实验是'问题驱动” 下的'目标明确”的'实践探究”.从问题的提出到目标 的达成，数学实验都可以在其中发挥'实践探究”作 用.在不同的认知节点，数学实验还应该发挥不同的 认知促进作用.因为这一点，数学实验被细分为'探索 型数学实验” '验证型数学实验”和'理解型数学实 验”.^[3]分析上述课例中的几个实验活动，不难发现，它 们分别具有不同的性质和特征.比如，实验活动1是具 有应用特征的探索型数学实验（依据性质探索折叠与

剪切方法）;实验活动2、3、5属于验证型数学实验（验 证猜想）;实验活动4可以作为思路探索型数学实验 通过折叠操作探索证明思路）;实验活动6更适合作 为理解型数学实验（演示“一般”与“特殊”之间的关 系）.验证型数学实验应该在观察与猜想的过程中用 于检验或修正猜想;探索性数学实验既可以在推理证 明的过程中发挥思维辅助作用，又可作为知识的巩固 运用;理解型数学实验可以在推理证明之后促进数学 知识的直观化理解……然而，执教者把这些实验活动 笼统地僵化为一个教學环节，就使得数学实验在本节 课的功能与价值局限于某一个方面（仅仅是“验证”， 并且这里很多“验证”让学生觉得没有必要）.

综合以上几个问题的分析，笔者认为，课例执教 者对数学实验教学的功用与价值的认识过于狭窄片 面.没有从认知过程的整体上思考数学实验教学的有 效融入，只是把几个“数学实验”内容整体插入到原本 的教学过程中作为一个固定环节，使得实验过程没能 很好地促进学生的数学思维，反而降低了课堂效率， 扰乱了认知理序，一定程度上阻碍了知识的内在建 构.

三、关于数学实验教学的两点感悟 在课例的分析的基础上回归本次活动的主题，笔 者认为研讨活动所指向的两个问题其实是统一的：数 学实验只有恰当、自然地融入到常态教学中，与具体 教学内容有机结合，才能更好地体现其功用与价值.

1. 数学实验与具体内容有机结合才能促进核心 素养的发展

数学教学应该把发展学生的数学核心素养作为 目标指向.^[4]因此，我们就有必要从发展学生核心素 养的角度来思考数学实验的功用与价值.上述课例分 析使笔者获得这样一个感悟，即数学实验作为一种教 学手段（从“学”的角度来说是一种学习方法），在核心 素养层面的功用与价值只有与具体教学内容有机结 合才能充分体现出来.这里所说的“有机结合”，指的 是把数学实验贯穿在知识内容的引入、理解、巩固、应 用的整个过程中.比如，在知识的引入环节，如果知识 具有一定的现实背景和操作特征，那么以数学实验的 方式引入就可能很好促进学生数学抽象素养的形成 和发展;在知识理解（概念建构或者原理揭示）环节， 用具体而直观的数学实验来阐释数学关系结构，就可 能有效地促进学生直观想象素养或者模型思想（对应 数学建模素养）的发展;在知识的巩固应用环节，数学 实验可以促进学生应用意识（对应数学建模素养）的 发展.就上述课例来说，分析中提到的“逻辑混乱”和 “环节化”，都是因为执教者对数学实验本身的功能与 价值认识过于片面，没有将它与等腰三角形性质的认 知过程有效结合.事实上，既然实验活动1具有明显的 应用特征，那么就应当将它后置于性质定理的巩固应 用阶段;实验活动6具有理解型数学实验特征，那就可 以把它放在定理证明之后帮助学生“回归直觉”;实验 活动3、4可以作为推理证明过程中的“自由选择”，一 些几何直观能力相对欠缺的学生可以在动手操作中 获得思路的启发.如果执教者这样去安排数学实验， 就相当于在整个认知过程中为学生提供了特殊与一 般、具体与抽象、现实与数学之间的往返穿梭，让数学 实验更好地发挥思维辅助与推动作用.

1. 数学实验融入常态教学的关键是体现适切性 与必要性

数学实验教学是教学研究领域的一个新兴课题， 相关研究在近几年呈“井喷”之势，大量的数学实验被 开发出来.^[5]在这样的背景下，一线教师需要特别注 意的是保持一种“理智的清醒”，既要充分认识数学实 验的功用与价值，又要理性客观地分析其适切性与必 要性，防止自己走进盲目跟风和泛化使用的误区.^[6]

强调适切性，就是要让数学实验顺应认知理序， 促进认知建构.就上述案例来说，实验活动1的位置安 排就缺乏适切性.为了顺应知识建构，这里应该从概 念定义（有两边相等的三角形）出发，用问题去驱动 “实验”.比如，教师可以让学生先在纸上根据定义画 一个等腰三角形，然后剪下来，观察并思考：为什么两 边相等的三角形就能“折叠重合”？在画等腰三角形 的时候，学生根据定义画图必定是先画两条有公共端 点且相等的线段（其实就是画出一个角），然后连接另 外两个端点;剪下来之后，学生对问题进行思考的时 候也就会自然而然地联系自己的画图过程，主动地进 行折叠观察.在这样的概念操作和实物操作下，学生 就会认识到等腰三角形的轴对称与角的轴对称、线段 的轴对称存在内在联系：等腰三角形的轴对称性实质 上是源于角与线段的轴对称性.

强调必要性，就是强调数学实验要尽可能地扣紧 学生的思维，要让学生切实感受到外部操作对内在思 维的推动作用或者补充作用.如果学生具备了一定的 几何直观能力与空间想象能力，以致他们完全依赖于 内在的表象操作就能解决当前问题的时候，何必动手 呢？就上述课例来说，实验活动2、实验活动3、实验 活动5、甚至实验活动4，从“验证猜想”角度看都是没有必要的.但是，它们在“推理证明”环节可能却是有 价值的，因为探寻证明思路的时候，在实验中观察往 往能获得思路上的启发.比如，学生会由“重合”想到 运用三角形全等，由“折痕”想到添加辅助线……由此 说明，数学实验教学的理想状态，就是让外在的实验 操作恰好切中个体的内在需求.做到这一点确实不容 易，但是我们“为思维而教”的目标应该是清晰而明 确的！

参考文献：

[1]罗增儒.“教学目标”见角下的教学研讨[〕]·中学数学

教学参考（中旬刊），2017（1，2）：26-30.

[2] 裴光亚.数学教学的支点[J]中学数学教学参考（中 旬），2016（9）.

[3] 董林伟，孙朝仁.初中数学实验的理论研究与实践探 索[J]·数学教育学报，2014（12）：21-25.

[4] 章建跃.树立课程意识落实核心素养[J]数学通报， 2016（5）：1一4，14.

[5] 姚强.数学实验贵在切时切需[J].中小学数学（初中 版），2017（2）.

[6] 陈海烽.数学实验需要找准自己的位置[J]数学通 报，2016（7）：7-10.

（责任编辑：万丙晟）