初中数学模型解题教学初探

郜淑杰

所谓数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学符号、语言或图形，表示出研究对象的主要特征、关系的一种数学结构.数学模型既包含几何图形，也包含数量关系，还可以是一些固化的解题思路、步骤.模型解题教学是引领学生深入学习的方法之一.下面举例说明.

一、模型解题可以使学生解决问题有方法

模型解题的优势是通过建立模型，把陌生的问题转化为熟悉的问题，进而有效解决问题.

例1 如图，点A，B分别在反比例函数y=1x（x>0）和y=-4x（x>0）的图像上，若OA⊥OB，则tan∠OAB的值为（  ）.

A.2   B.2   C.3   D.4

解析：本题考查了相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的知识.构造一线三垂直模型是本题的突破点.要求tan∠OAB，就要求OBOA，而OB与OA都是斜线段，很容易想到过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，构造出一线三垂直模型，设A点的横坐标是a，B点的横坐标是b，表示出OC、OD，利用相似得到ab=2，而正好等于ab，得到答案.

二、模型解题可以使学生养成把条件联系起来思考的整体思维

把事情联系起来看的整体思维在现实生活中作用很大，它可以更客观地反映事物的本质.而模型解题能让学生很好地体验条件之间的相互作用.

例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE//BC，

∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=6，BC=10，求DE的长是多少？

解析：此题难度不大，关键点在于“角平分線+平行线=等腰三角形”这个模型的应用，求出线段的长度.在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB=10;然后由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E=∠ABE，则AB=AE.同理可得，AD=AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和.

三、模型解题把知识模块化

模块化的知识，易于理解记忆，获取通性通法.往往懂一题，晓一类，通一片.模块化的知识使学习变得更系统和深入.

例3 某年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（  ）.

A.9人  B.10人  C.11人  D.12人

解析：做题时，先让学生分析此题相当于是单循环赛还是双循环赛的问题.你可以抢我的红包，我也可以抢你的红包，相当于主场互动一次，客场又互动一次，所以是双循环赛.那么，就根据双循环赛的思路或公式列出等量关系解决问题.

四、模型解题可以发展学生思维的创新性和系统性

授之以鱼不如授之以渔.反思解法，探索解题规律的学习方法，可以让师生在归纳中有顿悟、有发现.

例4 已知：在三角形ABC和△BEF中，∠ABC=∠EBF=30°.

（1）如图1，当点E在斜边AB上，点F在BC边上时，连接AF，取AF得中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是，∠EMC=.

（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点F在斜边AB上，（1）中的其他条件不变，请问（1）中的ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论.

解析：（1）用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证.（2）把共端点的两个直角三角形各自沿各自的直角边翻折成为等腰三角形，就形成等线段共端点模型，然后证明全等，由中位线定理证明结论.

通过对此题的分析，我们在等线段共端点证明全等、等线段共端点证明相似的基础上，又发展了“等线段共端点反向直角三角形”模型，丰富了这一类型题的基础模型，使学生对题目之间的内在联系和互相转化又有了一次直观而深刻的体验，发展了学生的创新思维.

注：本文系2019年度河南省基础教育教学研究项目《基于核心素养的初中数学模型解题教学研究》（课题编号JCJYC19030513）研究成果.