能量难道不守恒了吗？

闫敬畏

摘要：能量守恒是自然界最普遍的规律之一.在一道两个带电小球碰撞的试题中，碰撞前后的系统的电势能和动能均增加.针对这一问题，本文作进一步探讨.

关键词：互能 自能 能量守恒

例：如图1所示，光滑绝缘的水平面上，M、N两点各放一电荷量分别为+q和+2q的电荷，有完全相同的金属球A和B，给A和B以大小相等的初动能E0（此时动量大小均为p0）使其相向运动刚好能发生碰撞，碰后返回M、N两点时的动能分别为E1和E2，动量大小分别为p1和p2，则（  ）.

A.E1=E2=E0，P1=P2=P0

B.E1=E2>E0，P1=P2>P0

C.碰撞发生在M、N中点的左侧

D.两球同时返回M、N两点

解析：由动量观点看，系统动量守恒，两球的速度始终等值反向，可得出结论：两球必将同时返回各自的出发点，且两球末动量大小和末动能一定相等.从能量观点看，两球接触后的电荷量都变为1.5q，在相同距离上的库仑斥力增大，返回过程中电场力做的正功大于接近过程中克服电场力做的功，系统机械能必然增大，即末动能增大.故A错误，B正确.

从牛顿定律的观点看，两球的加速度大小始终相同，相同时间内的位移大小一定相同，必然在连线中点相遇，又同时返回出发点.故C选项和D选项均错误.因此本题选B.

在上述对该题A、B选项的解答过程中，由功能关系推知当两小球返回M、N点时动能增加了，从能量的角度可知，增加的动能是由带电系统的电势能转化而来.

现在，我们再来考虑下电势能的变化：

选无穷远处为零势能参考点，碰碰撞前两小球在M、N处的电势能为：

Ep0=kq1q2r=k2p2r.

接触后电荷重新分布：

q1′=q2′=3q2.

碰前两小球回到M、N处的电势能为：

Ep1=kq1′q2′r=k9q24r.

该过程中电势能变化量为：ΔEp=Ep1-Ep2=kq24r.

由以上计算结果可知带电系统的电势能也增加了.难道整个过程能量不守恒了？若守恒，是何种能量减小了呢？

实际上，帶电体系的静电能包含了每个带电体的自能和带电体间的相互作用能，即E静=E自+E互.所谓互能是指n个带电体组成的系统，将各带电体从现有位置彼此分开到无限远时，他们之间的静电力所做的功定义为带电体间的互能.所谓自能，是指将一个带电体视为无穷多个带电体元，将这无穷多个带电体元从无限分散状态聚集成该带电体，外力所作的功即为该带电体的自能.很显然，上述的计算只考虑到了带电系统的互能，而未考虑到带电体的自能.

现在我们来对均匀带电金属球的自能表达式进行推导.

设金属球的半径为R，将球面视为无穷多个带电元，设想这些无穷多个带电元是在外力作用下从无穷远处搬运到带电体上，选无穷远处电势为0，由φ=kqr知，金属球表面电势与电荷量成正比.如图2所示，φ-q图像为一倾斜直线，图像与q轴围成的面积表示电场力做的负功，即为储存在金属球上的自能.由面积计算可得

E自=12Σni=1UiΔqi=12kqr×q=kq22r.

所以，该题中两金属球自能的变化为

ΔEp′=k3q222r×2-2q2r+k4q2r=-11kq24r.

则系统电势能的变化量应为

ΔE静=ΔEp+Ep′=-5kq22r.

可见，系统的总静电能是减小的，碰撞前后并未违反能量守恒定律.

参考文献：

[1]程守洙.普通物理学[M].高等教育出版社，2006：316.