妙用等效思维快速简捷解题

华兴恒

当某一个物理现象与另一个或几个物理现象产生的效果相同时，我们常常将复杂的物理现象转化为等效的、易于研究的简单现象来研究，这种思维方式即是等效思维。等效思维是研究、解决各种复杂物理学问題的一种很重要的科学思维方法之一，其依据是当不同的物理现象、物理过程和物理规律不仅具有其特殊性，并且在某些方面往往还具有同一性。其实质是相互替代的效果相同，不仅可以使非理想模型变为理想模型，使复杂问题变为简单问题，而且可以使感性认识上升到理性认识，使一般理性认识升华到更深的层次。

在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、重心、交流电的有效值、总电阻等，都是根据等效概念引入的。除了以上课本中经常采用的等效方法以外，在求解物理问题时还有许多等效方法可以利用，从而达到简化解题过程、快速简捷求解的目的。下面举例说明，希望对提高同学们思维的灵活性和创造性能够有所帮助，以利于提高解题技能和技巧。

一、长度的等效

【例1】如图1为双线摆，在竖直平面内做简谐运动，求该摆的振动周期T。

解析：该双线摆可等效为单摆，等效摆长为lsinθ。则由单摆周期公式可得T = 2π■。

【例2】如图2所示，一段金属导线弯曲成有缺口的圆环，半径为l，缺口所对的圆心角为60°，该圆环在垂直于匀强磁场B的平面内以速度v做匀速直线运动，求圆环切割磁感线产生的感应电动势E。

解析：设想将圆环缺口用一段直金属棒连接构成一闭合回路，由法拉第电磁感应定律E = N■，可得闭合电路中总的电动势为零，这说明在闭合电路中圆环ACB产生的感应电动势与直金属棒AB产生的感应电动势大小相等、方向相反（相当于两节干电池反接），则圆环切割磁感线产生感应电动势的等效长度等于棒AB的长度，所以圆环产生的感应电动势为E = Blv。

二、场的等效

各种性质的场与实物的根本区别之一，就是具有叠加性，即几个场可以同时占据同一空间，从而形成一个复杂的叠加场。这时既可以根据力的独立作用原理，先分别研究每一种场力对物体的作用，也可以通过等效思维方法，将复杂的叠加场等效为一个简单的场，然后利用类比法转化为重力场中的常见问题，以便利用熟悉的规范和方法极为简捷地进行分析、解答。

下面向大家介绍典型的保守场——重力场、静电场所构成的叠加场中的复杂问题，通过等效和类比的方法，转化为类比重力场中的简单问题。

【例3】如图3所示，一个摆线长为l，质量为m的带正电摆球，悬挂在方向水平向左的匀强电场中，小球由水平位置A从静止开始向下运动，且达到竖直位置时速度恰好为零，求小球运动过程中摆线受到的最大拉力。

解析：小球从A运动到B，动能增量为零，因为摆线的拉力不做功，电场力（qE）对小球做的负功必定等于重力（mg）对小球做的正功，即qEl= mgl，故qE=mg。可见小球受到的电场力与小球的重力大小相等。

小球到达B点后，将在A、B之间来回振动，根据振动的对称性，平衡位置（O）位于AB弧的中点。在平衡位置，电场力与重力的合力为F =■mg，方向与水平方向成45°角。将电场与重力场的叠加场等效为一个重力场，等效重力加速度方向与水平方向成45°角。大小为g ′ =■=■g。

小球通过平衡位置时，绳的拉力最大，根据类似机械能守恒，小球在O点速度最大，且为v0 =■=

■。

根据牛顿第二定律有T-■mg = m■，所以绳的最大拉力为T = m■+■mg = （3■-2）mg。

三、源的等效

对于一些电学问题，若直接用电路中的电源求解会很麻烦，此时若我们能够把外电路的一部分和电源合在一起，作为一个新的电源——等效电源，常常可以收到奇妙的解题效果。

任何一个线性有源二端网路，都可以用一个等效电源来代替，这个等效电源的电动势E′等于网络两引出端开路时的路端电压U;其内阻r ′等于网络在两引出端所呈现的总电阻。等效电源的电动势和内阻不仅可用上述方法计算，而且还可以用实验方法进行测量。

【例4】如图4所示是用来测电池电动势E和内电阻r的电路图，试分析存在的系统误差。

解析：误差产生的原因在于电流表的分流，但从分流入手分析，既麻烦又不易看清其物理意义，若用等效电源进行分析，那就相当简便。

把电池和电压表看作一个等效电源，电压表内阻RV，则等效电源的电动势和电阻分别为：E′=■E，r =■r。由此可见E′< E，r ′< r。

【例5】如图5所示，凸透镜L的焦距为f，在离透镜1.5 f处，垂直放置一平面镜M。现在焦点F处有一点光源S，则在透镜另一侧_________（是否成像，成在何处）。

解析：点光源放在凸透镜L的焦点F，直接发出的光经凸透镜L折射后不成像。S在平面镜前，经平面镜M反射后成虚像S′（与S相距f），经平面镜M反射后部分光好像从S′发出照射到L上，折射后汇聚于L另一侧2 f处，成实像。

对于L，虚像S′可看作一个等效点光源，放在L右侧的2f处，根据凸透镜成像规律可知，成实像于另一侧2 f处。

四、路的等效

从对立统一规律来看，无限与有限是一对矛盾的两个方面，在一定条件下无限与可以相互转化，等效替代。如电学中分析和解决无限网络电路问题时，就常用到这样的基本思想方法。

【例6】如图6为用同样电阻R组成的无限网络，求等效电阻RAB。

解析：由于去掉最左端一个网络，对无限网络的等效电阻并没有用什么影响，因此由如图7的等效电路图，则根据串、并联电路的电阻关系有RAB=2R+■，整理得RAB 2 -2RRAB-2R2=0，解得RAB =（1+3）R。

五、条件的等效

【例7】如图8所示，理想变压器输入端电动势为E、内电阻为r的交流电源，输出端接电阻为R的负载，求原副线圈匝数比■为多少时，R获得的电功率最大？這个最大电功率是多少？

解析：从有效电阻考虑，交流电源与恒定电源等效，且恒定电源输出最大电功率的条件之一是外电阻R等于电源内电阻r。除此之外，还有两个等效条件：电源输出电流为I=■;电源输出电压为U=■。当三个条件中任意一个得到满足时，电源输出电功率最大，为Pmax=■。

因为是理想变压器，故电源的输出电功率、变压器的输入电功率、输出电功率及负载获得的电功率都是相等的。即R上获得的最大电功率为

Pmax =■……………………①

为了求原、副线圈匝数比，可根据条件R = r以外的其它两个等效条件之一进行求解。

根据电源输出电功率最大时，输出电压为U1 =■，由公式■=■，有U2 =■U1。则负载获得的最大电功率可表示为

Pmax =■=■=■（■）2 …………………②

由①、②两式有■=■（■）2，可得匝数比为■=■。

六、过程的等效

对于一定质量的气体，在状态1的状态参量分别为p1、V1、T1，经过一系列的状态变化达到状态2，这时状态参量分别为p2、V2、T2。两状态参量满足■=■。在推导这个方程时，可设想两个过程：等温过程、等压过程，来代替复杂的实际的状态变化过程，可收到殊途同归、化繁为简的效果。

对抽气机对容器连续抽气（或贮气筒对不同容器分别充气），可设想实际的抽气或充气过程为等温过程，对容器或某一容器内气体来说，总体的温度虽不变，但这部分气体的质量是变化的，不能用波义耳定律求解。因为这属于变质量问题，可设想如下的与实际过程等效的一个过程：让符合题意的多个相同的抽气机同时对某容器抽气（或贮气筒对符合题意的不同容器同时充气），这样变质量问题转化为定质量问题，便于运用波义耳定律求解。

通过以上分析可以看出，采用灵活变通的方法，将状态、过程等效替代，运用理想过程解决实际问题，对训练同学们的科学思维起到了妙不可言的独特作用。

【例8】如图9所示，一粗细均匀两端封闭玻璃管中央有一段水银柱，将此水平放置的玻璃管B端抬高，并同时改放到热水中，如图10所示，则水银柱将向哪一端移动？

解析：B端抬高，水银向A端移动，升温时向B端移动，最终结果不易确定。若改为如下程序则易于获解。

先放入热水中，再抬高B端，可知水银柱向A端移动。从而简捷获解。

九、模型等效

【例9】（2015课标全国卷Ⅰ）1824年，法国科学家阿拉果完成了著名的“圆盘实验”。实验中将一铜圆盘水平放置，在盘中心正上方用柔软细线悬挂一枚可以自由旋转的磁针，如图11所示。实验中发现，当圆盘在磁针的磁场中绕过圆盘中心的竖直轴旋转时，磁针也随着一起转动起来，但略有滞后。下列说法正确的是（）

A. 圆盘上产生了感应电动势

B. 圆盘内的涡电流产生的磁场导致磁针转动

C. 在圆盘转动过程中，磁针的磁场穿过整个圆盘的磁通量发生了变化

D. 圆盘中的自由电子随圆盘一起运动形成电流，此电流产生的磁场导致磁针转动

解析：本题考查电磁感应、楞次定律、磁通量。如图12所示，将铜圆盘等效为无数个长方形线圈的组合，则每个线圈绕OO′轴转动时，均有感应电流产生，这些感应电流产生的磁场对小磁针有作用力，从而使小磁针转动起来，可见选项A、B正确;由上述分析可知，感应电流的方向与圆盘的转动方向并不一致，则选项D错误;由对称性可知，穿过整个圆盘的磁通量始终为零，则选项C错误。应选A、B。

点评：求解本题的关键在于抓住由于圆盘切割磁感线而产生沿半径方向的径向电动势使金属圆盘在局部区域产生涡流。此外还要抓住楞次定律的本质为回路磁通量的变化，本题中由于圆盘具有对称性，故穿过圆盘的磁通量保持不变。

以上实例说明，等效思维在求解物理问题中有很重要的应用，它是以效果相同为出发点，对所研究的对象提出一些方案或设想进行研究的一种方法。这种科学的思维方式不仅在于解题简捷，更重要的是有助于我们对物理概念、规律、过程、情境及模型的深入理解，起到启迪思维、扩大视野、触类旁通的作用。

责任编辑李平安