积分变换中的一题多解

崔汉哲 上海电机学院

一、引言

积分变换是工科与应用技术型高校机电工程类各专业的基础数学课程。如自动化或自动控制专业，要应用拉普拉斯变换进行线性系统的分析；计算机网络专业，要应用傅里叶变换与小波变换进行信息压缩，等等。积分变换的先修课程是微积分和复变函数。学生的基础如果不够扎实，积分变换的学习就会遇到相应的困难。因此教师在教学中要灵活运用各种方法，以求良好的教学效果。积分变换的核心问题是求各类时域函数的积分变换和频域函数的逆变换。对于相同的函数，求变换或逆变换的方法往往不止一种，各有千秋。因此在教学中，教师可以通过一题多解，使学生对前后所学内容互相比较、融会贯通，进而牢固掌握知识，提高能力。以下举例说明。

二、实例

解法一：查表法。对于简单或较典型的函数，Laplace变换表中已经罗列了相关结论。例如，查教材[1]149页的附录二“Laplace变换简表”，第九项为。令a=1，等式两边同除以2，便得。

查表法的优点在于简单易行，只需大致了解积分变换的概念即可使用。缺点在于，很多具体的应用场合，函数形式千变万化，很可能并非表中的情形。因此首先需要将函数变形，或利用积分变换的性质做转换，然后才能查表。这也是为什么需要进一步学习、掌握积分变换基本性质的原因。

解法二：留数法。这是求拉普拉斯逆变换的标准方法。例如根据教材[1]95页的定理，若s→∞时，F(s)→0，那么F(s)的逆变换是函数在其所有奇点处的留数之和。本题中满足定理条件，且奇点为i 与-i 。于是根据定理和复变函数课程中的留数计算法则，

留数法的优点在于适用范围广，课程中遇到的几乎所有频域函数都可用它求逆变换。因此各种教材中对此方法进行了详细的介绍和分析。而对学生来说，难点主要在于，本方法首先要求学生具有良好的复变函数知识基础。而近年来，我国某些院校在教学改革的大背景下，不同程度削减了各类数学课程的学分和课时。如将《复变函数与积分变换》由原先的48学时减为32学时。如此一来，复变函数中的留数内容势必被删除。学生没有学过留数，自然无法用留数法求拉普拉斯逆变换。于是学习掌握其它求逆变换的方法就非常有必要。

解法三：卷积法。卷积是时域和频域信号的主要运算之一。在积分变换课程中，卷积也是计算逆变换的重要方法。根据教材[1]102页的卷积定理，频域函数乘积的逆变换是各自逆变换的卷积。于是有。最后用卷积定义计算卷积，得。

卷积法的优点是直接。绝大多数情况下，都可以很容易把频域函数看成两个函数的乘积，进而使用本方法。对部分学生，难点主要在于最后计算卷积时，积分有时并不太容易。因此，教师在讲授本方法时可以和大一微积分的内容相结合，做到温故知新。

解法四：有理函数化部分分式法。积分变换中，所遇到的频域函数绝大多数情况下是有理函数。因此可先将其化成部分分式之和，对部分分式的每一项先求逆变换，最后相加即得原频域函数的逆变换。本题中，可知部分分式共有四项。若采用机械的待定系数法求部分分式，则待定系数的个数为四个，计算量较大。通过仔细观察F(s)的分子分母，可以采用逐项拼凑的方法求出最后的部分分式，计算相对简便。即有

本方法的优点是不需要过多的准备知识。如果学生如果没学过留数，则本方法就是求拉普拉斯逆变换的主要方法。而另一方面，如果频域函数的表达式较复杂，分子分母多项式的幂次较高，则本方法的计算过程就会相对繁琐冗长。因此何时采用本方法，需要灵活应对。

解法五：利用拉普拉斯变换的性质。仔细观察频域函数的表达式，可以发现。由此联想到拉普拉斯变换的频域微分性质，例如教材[1]83页的（2.6）式，有。将其应用于本题，直接可得。

本方法的优点是巧妙简洁，几乎一步推导就可以求出逆变换。但前提是学生要熟练掌握拉普拉斯变换的性质，并有一定的悟性和观察力，对学生的能力要求较高。一般学生可能并不适用该方法。因此在教学中，本方法可以作为提高内容，留给学有余力的学生练习。

三、总结

由以上实例可见，在积分变换的教学中运用一题多解，可使学生整合先修课程和本课程、及本课程中的前后所学知识，开阔思路，融会贯通。不同层次的学生最后都可得到能力的锻炼和水平的提高，从而取得良好的教学效果。