基于非稳态传热模型的高温作业专用服装设计概述

胡璠樊 郭静洁

摘 要 本文基于一维条件下，利用非稳态导热模型解决在一定热约束要求的条件下，高温作业專业服装未知层的最优厚度。利用非稳态导热模型，首先通过计算毕渥数得到模型的边界条件，由显式差分法导出偏微分方程的解析式，利用超越函数将解析式中的无穷级数化为常数，最后将边界条件和初值条件代入偏微分方程得出温度和距离的表达式。

关键词 一维非稳态非周期导热;偏微分方程;最优厚度

1问题重述

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。为设计专用服装，将体内温度控制在37?C的假人放置在实验室的高温环境中，测量并记录假人皮肤外侧的温度[1]。

试解决：当环境温度为65℃、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47?C，且超过44?C的时间不超过5分钟。

2模型的建立与求解

2.1 模型的建立

（1）分析与模型的引入

①分析：要求在环境温度为65℃、IV层的厚度为5.5 mm的条件下，工作60分钟，假人皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟，求Ⅱ层的最优厚度。分析得出时间、厚度与温度的关系，我们查阅相关的传热理论，引入非稳态导热公式，建立非稳态导热模型。用MATLAB画出超越函数的图像并求其根来解偏微分方程，进而得出时间、厚度与温度的不等式解集，在降低研发成本、缩短研发周期的目的下，取不等式解集的最小值即为Ⅱ层的最优厚度。

②模型的引入：通过分析可知，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ层的温度随时间的推移不断地升高，且导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的。在经过一定的时间后，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ层的温度之间趋于稳定，最终达到热平衡，为非周期性非稳态导热，即瞬态导热，从而整个高温作业服装材料的传热模型被简化为一个一维非稳态四层结构的传热模型。

在此，引入毕渥数的概念，它表征固体内部单位导热面积上导热热阻与单位面积上换热热阻之比：

（）。其中，为表面传热系数，λ为固体导热系数，为特征长度，即厚度。由于本题设计服装的目的是在高温环境下实现隔热，故表面对流换热热阻几乎可以忽略，即，故。

物体内部温度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此时可认为。那么，边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上的温度[2]。

（2）模型公式的推导

由于，故该非稳态导热模型可看作无限大平壁，进而建立一维无限大平壁非稳态导热模型。一维非稳态热传导的方程为：

式中，为材料密度，为材料比热容，为材料热传导率，为材料温度，为防护服内部初始温度，为时间，初始条件为。

引入变量过余温度，令，利用显式差分计算方法，对偏微分方程分离变量并简化式子得：

此导热模型温度随时间的变化而上升，经分析可得温度超过44℃在最后五分钟内，即，且假人皮肤外侧温度不超过47℃，即。

利用以上所列式子，且已知Ⅳ的厚度与假人半径，故可求得的温度解集，同理推得的温度解集。令的温度解集为，第II层厚度未知为第I层厚度已知为，且第I层的温度也已知，可解得的取值范围为，且，且题目要求降低研发成本、缩短研发周期，故取两个不等式并集的最小值即为最优解。

2.2 模型的求解

首先我们利用MATLAB画出超越方程所对应的函数的图像

图像只给出了的部分，但由两函数的特点可知它们有无数个交点，但对于传热平板而言，当时，累加系数趋于0。故定若，只取第一项。将每一层进行计算，得出其的数值均大于0.2，所以各层只取第一项进行计算[3]。

根据图可知各层的第一项即为两函数图像在第一象限中的第一个交点;与的值介于1与2之间;的值大于6;的值介于3与4之间。经过计算，得出

3模型的优缺点与改进

3.1 模型的优点

（1）利用MATLAB求解温度分布的数值，使计算简便快捷。

（2）引入非稳态传热模型，并有效利用偏微分方程解决问题。

（3）以多层筒壁热传导模型垂直截面作为目标，避免随时间推移传热面积改变造成复杂情况。

（4）引入了过余温度的概念，将四个不同层的偏微分方程联系在一起。

3.2 模型的缺点

（1）IV层为空气层，建立多层筒壁模型时未考虑该层的热对流，而用热传导代替，会使结果有一定误差。

（2）未考虑各层界面上热量的损失。

3.3 模型的改进

建立了防热材料的一维非稳态传热模型，提出了一体化多层热防护材料服装设计的优化方法，为多层热防护材料服装的优化设计提供了有效工具[4]。

参考文献

[1] 陈立明，戴政，谷宇，等.轻质多层热防护结构的一体化优化设计研究[J].力学学报，2011，（2）：43-49.

[2] 徐建良，汤炳书.一维热传导方程的数值解[J].淮阴师范学院报，2004，（3）：40-44.

[3] 李昂，王岳，陶然.傅里叶热传导和牛顿冷却定律在流体热血研究中的数学模型应用[J].工业技术创新，2016，（3）：498-502.

[4] 卢琳珍.多层热防护服装的热传递模型及参数最优决定[D].杭州：浙江理工大学，2018.