义卖里的科学规划

2020-05-25卓西咔

数学大王·中高年级 2020年5期

卓西咔

“爸爸快点，再迟就要没位置了。”今天阿才早早地起了床，拉着爸爸要往中心广场奔去。原来今天学校组织义卖实践活动，同学们都可以在家长和老师的陪同下来到市中心广场，设立自己的小摊档，变身成为“小店主”，向路人兜售自己精心准备的文具、玩偶、零食、画作等物品。而且这次活动赚到的义卖款将会用来帮助有困难的小朋友。同时，本次活动还设置了排名，赚取最高金额的同学还将会获得“优秀店员”的奖状一张。这次的实践活动可谓是意义非凡，大家都在积极地筹备着，阿才更是摩拳擦掌，决心“大干一场”，甚至从家里带来了好几本自己心爱的漫画书，希望等下能将它们卖出个好价格。

距离义卖活动正式开始还有一段时间，但市中心广场已经熙熙攘攘，热闹非凡，吸引了不少市民驻足围观。所谓“天时地利人和”，要打好义卖活动这一场“仗”，阿才知道要先选好合适的位置摆摊。经观察发现，偌大的一个市中心广场大致可分为两部分，一部分是拥挤炎热、人来人往的繁华区域，另一部分为阴凉舒适但人流较少的偏僻区域。接着，阿才陷入了沉思：“待在这两个地方的时间该如何分配呢？”一旁的爸爸看着阿才烦恼不已的样子，主动走过来给他打气：“我们上阵父子兵，一起想办法攻克难关。加油！”

如何科学地“部署”摊档？

经过一番调查，阿才与爸爸得到以下这些信息：

阿才在繁华区域摆摊平均每小时可以赚得60元，而在偏僻区域摆摊平均每小时可賺得20元。但是相对在人多的区域要消耗更多的精力，平均每小时消耗40%;在人少的区域每小时仅消耗10%。除此之外，今天的义卖活动会持续2～4小时。

根据这些信息，爸爸设阿才在繁华区域摆摊x小时，在偏僻区域摆摊y小时，那么阿才今天义卖的预计总收入为z=60x+20y（元）。结合两个区域摆摊的平均每小时精力消耗情况，可以得到0.4x+0.1y≤1。根据义卖活动持续时间，得到2≤x+y≤4 。结合实际，x和y都是非负数，所以有x≥0和y≥0 。现在就需要知道，如何选取x和y的值使得总收入z最大。

我们先在坐标轴上分别作出y=-x+4（直线1），y=-x+2 （直线2）， y=-4x+10（直线3）和y=-3x+z

20（直线4）的图像：

由于2≤x+y≤4和0.4x+0.1y≤1，故我们取直线1和直线3的左边，直线2的右边，且x≥0和y≥0 ，由此得到图中的阴影部分（也叫可行域）。但是我们如何才能得到z的最大值呢？

既然我们无法直接得出z的值，不妨换一个思路。仔细观察直线4，我们可以发现直线分别与竖轴交于z

20，与横轴交于z

60（分别将x=0和y=0代入）。也就是说，当z取得最大值时，直线与竖轴、横轴相交所得的值最大。那么问题又来了，该如何才能让直线4与两条轴相交得到的值最大呢？现在让我们拿出我们的直尺，不断将直线4往阴影部分“ 推动”（记住不能超出去哟），我们可以得到当直线4经过点A（2，2）（可将直线1和直线3联立求出点A的坐标）时z的值最大，将x=2，y=2代入得到z=2×60+2×20=160（元）。也就是说，要令义卖的总收入达到最大值160元，阿才应该在广场的繁华区域和偏僻区域各摆摊2小时。

如何省钱地“运达”善款？

经过一番“战斗”后，接下来便是把这次的义卖所得在下午6点前送达学校，但现在距离6点还有一个小时。此时阿才开始思考一个问题：“到底如何规划出行的方式，才能花最少的路费在规定时间内抵达学校呢？”阿才对规划摆摊“部署”的方法举一反三，得到了以下见解：

在爸爸的陪伴下，阿才可以选择乘坐“快车”或“顺风车”回校。阿才了解到，“快车”的平均时速为50千米/小时，而“顺风车”相对慢一点，平均时速为25千米/小时。“快车”的收费是10元/千米，“顺风车”的收费为5元/千米。学校距离市中心广场约有40千米远。爸爸身上只带了350元。

根据这些信息，我们不妨设乘坐“快车”x千米和“顺风车”y千米。由此得到总车费z=10x+5y。因为距离学校有40千米远，所以有x+y=40。因为要在1小时内抵达学校，所以有x

50+y

25≤1。因为爸爸身上只有350元，所以有 10x+5y≤350。

现在要回答的问题就是在x+y=40，x

50+y

25≤1，10x+5y≤350，x≥0和y≥0 的约束条件下，如何确定x和y的值，使得z=10x+5y最小。

为此我们先在坐标轴上分别作出y=-x+40（直线5），y=-x

2+ 25（直线6），y=-2x+70 （直线7）和y=-2x+ z

5（直线8）的图像：