广义犹豫二元语义Heronian平均算子及其在决策中的应用
2020-05-25王慧娟王利东
王慧娟， 王利东
(大连海事大学 理学院 辽宁 大连 116026)
0 引言
由于人类思维的模糊性以及客观事物的复杂性,仅仅使用数值通常不能有效、准确地描述决策者的偏好。基于文献[1-3]提出的语言变量,决策者可以用“差”“中等”“好”等语言项来更准确地表达决策者的直觉与偏好。目前,语言变量已经成为处理定性信息的一个有用工具,其应用涵盖决策分析、信息检索、风险评估等领域。基于扩展原理的语言变量计算模型具有简洁与直接的优点,但在计算过程中存在信息损失和失真[4]。为了解决这个问题,文献[5]提出了二元语义变量及其相关的运算法则,该变量是由一个语言项和一个在[-0.5,0.5)范围内的实数组成,可以有效地减少计算过程中的信息损失。然而,单纯使用单个二元语义变量[6]难以刻画决策过程中决策者的犹豫性。为了处理这种情况,文献[7]引入了犹豫二元语义变量(si,βij),其中βij用来表达决策者的犹豫程度。文献[8]设计了一种面向犹豫二元语义变量的评价方法,利用聚合算子求出各方案的综合评价值,并通过计算犹豫二元语义变量的均值和方差来进行方案的排序。文献[9]引入了犹豫二元语义模糊集的概念,它是二元语义变量的推广形式。
信息融合是多属性决策的一个重要环节,在某些决策背景下,应采取不同的聚合算子来集结决策者复杂的偏好评价值。目前,已有多种类型的二元语义聚合算子被构建。文献[9]提出了犹豫二元语义 Einstein 加权平均相关聚合算子,该算子基于 Einsteint-范数和s-范数解决了现有算子的粒度和逻辑问题。文献[10]提出了推广的二元语义混合加权几何平均算子。为了表示聚合过程中属性之间的相互依赖性,文献[11]提出 Bonferroni 平均(BM)算子，BM算子可以考虑任意2个属性之间的相互关系,但忽略了属性与其自身之间的依赖性。文献[12]提出了 Heronian 平均(HM)算子,可以有效地解决 BM 算子存在的不足。在实际的决策过程中,人们经常会遇到需要在属性分类的基础上进行决策的情况。例如,当选择供应商时会考虑一些属性因素，如产品成本C1、产品质量C2、售后服务水平C3、供应商供货能力C4。上述4个因素根据考察对象可以分为2个部分：第一部分P1={C1,C2},第二部分P2={C3,C4}。 也就是说同一部分中的属性相互关联性较大,不同部分中的属性相互独立。显然, HM算子无法处理这类决策问题,由此文献[13-14]提出了划分Heronian平均(PHM)算子。基于犹豫二元语义模糊集的思想,本文首先利用 PHM 算子且考虑不同属性子集中属性的相互关系,构建了划分犹豫二元语义模糊Heronian平均(P2TLHFHM)算子。在所提出算子的基础上,设计了一种基于犹豫二元语义评价信息的决策方法,最后用实例验证了该方法的可行性和灵活性。
1 相关概念
1.1 犹豫二元语义变量
文献[5]提出了二元语义变量(sp,αp),其中sp是语言术语集S={sp|p=0,1,…,l}中的元素,αp表示实数且αp∈[-0.5,0.5)。
定义1[5]设S={sp|p=0,1,…,l}是一个语言术语集,定义函数Δ将β∈[0,1]转换为二元语义变量，
式中：round(·)为取整算子；sp是距β最近的语言项。反之,二元语义变量(sp,αp)可运用函数Δ-1转化成等价的实数β，
定义2[9]设Sf={(sp,αp)|p=0,1,…,l}是一个二元语义集,则称LHi为集合Sf上的一个犹豫二元语义模糊集,简写为2-TLHFS, 其定义为
LHi={〈(sθi,αθi),lh(sθi,αθi)〉|θi∈{1,…,|∂(LHi)|},(sθi,αθi)∈Sf},
式中：|∂(LHi)|表示∂(LHi)={(sθi,αθi)|〈(sθi,αθi),lhθi〉∈LHi,lhθi≠{0}}的势；lh(sθi,αθi)={r1,r2,…，rmi}，表示LHi中元素属于(sθi,αθi)的mi个隶属度的集合。为简单表达,下文将用LHi={〈(sθi,αθi),lhθi〉|θi∈{1,…,|∂(LHi)|}}来表示2-TLHFS,其中lhθi=lh(sθi,αθi)={r1,r2,…，rmi}。
定义3[9]设LH是定义在Sf={(sp,αp)|p=0,1,…,l}上的1个2-TLHFS,称F(LH)为LH的期望函数,且
式中：|lh(sθi,αθi)|表示集合lh(sθi,αθi)的势。
定义4[9]设LH是定义在Sf={(sp,αp)|p=0,1,…,l}上的1个2-TLHFS,称K(LH)为LH的方差函数,且
定义5[9]令LH1和LH2表示2个2-TLHFSs,其比较规则为：① 若F(LH1)
1.2 2-TLHFSs的运算法则
定义6LH1和LH2表示任意2个2-TLHFSs,运算法则定义如下(其中λ>0)。
定理1LH1、LH2和LH3表示3个2-TLHFSs,则如下性质成立(其中λ,λ1,λ2>0)。
(1)LH1⊕LH2=LH2⊕LH1；
(2)LH1⊗LH2=LH2⊗LH1；
(3)λ(LH1⊕LH2)=λLH1⊕λLH2；
(5) (λ1+λ2)LH1=λ1LH1⊕λ2LH1；
(7) (LH1⊕LH2)⊕LH3=LH1⊕(LH2⊕LH3)；
(8) (LH1⊗LH2)⊗LH3=LH1⊗(LH2⊗LH3)。
2 划分犹豫二元语义模糊HM算子
文献[13-14]提出的PHM算子将所有属性划分为若干部分,同一部分中的属性相互关联,不同部分中的属性相互独立,并考虑属性之间的相互依赖关系。本节在犹豫二元语义模糊信息背景下构建划分犹豫二元语义模糊Heronian平均(P2TLHFHM)算子,同时讨论了该算子的一些性质和特殊形式。
定理2设LH1,LH2,…,LHn是定义在二元语义集Sf上的n个2-TLHFSs,定义7中P2TLHFHM算子的聚合结果为
定理3设LH1,LH2,…,LHn是定义在二元语义集Sf上的n个2-TLHFSs,P2TLHFHM算子有以下性质。
(2) (有界性) 若LHi=〈(sθi,αθi),lhθi〉,且
则
(3) (交换性) 若LHi′是LHi(i=1,2,…,n)的1个置换,则
P2TLHFHMp,q(LH1′,LH2′,…,LHn′)=P2TLHFHMp,q(LH1,LH2,…,LHn)。
当参数p和q取不同值时,可以获得 P2TLHFHM 算子的一些特殊形式,如下所示。
(i) 当q→0时,有
(ii) 当p=1,q=1时,有
3 犹豫二元语义模糊信息多属性决策方法
对某一多属性决策问题,方案集为A={A1,A2,…,Am}(i=1,2,…,m),属性集为C={C1,C2,…,Cn}(j=1,2,…,n)。H=(LHij)m×n为犹豫二元语义模糊矩阵,且LHij表示方案Ai相对于属性Cj的犹豫二元语义评价值。本文在 P2TLHFHM 算子的基础上,提出了一种在犹豫二元语义模糊环境下求解多属性决策问题的方法,具体步骤如下。
步骤2 规范化犹豫二元语义模糊决策矩阵H=(LHij)m×n,即
步骤3 利用 P2TLHFHM 算子将犹豫二元语义模糊决策矩阵H=(LHij)m×n进行聚合,得到各个方案的综合评价值LHi(i=1,2,…,m)。
步骤4 根据定义3、定义4,计算LHi(i=1,2,…,m)的期望函数值和方差函数值,利用定义5,对方案Ai(i=1,2,…,m)进行排序,获得最优方案。
4 实例分析
4.1 实际问题
某货物公司通过货物易保存特性C1、货物的包装C2、港口服务水平C3以及港口地理位置C4共4个评估标准来进行港口选择。通过调查和分析评估标准的相互关系,本文将评估标准分为P1={C1,C2}和P2={C3,C4}来评估3个港口{A1,A2,A3}。 公司根据语言术语集S={s0=极差,s1=非常差,s2=差,s3=较差,s4=均等,s5=较好,s6=好,s7=非常好,s8=极好}给出评价值。具体步骤如下。
步骤1 构建犹豫二元语义模糊矩阵H=(LHij)m×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),如表1所示。由于每个评价标准Cj(j=1,2,…,n)都是效益属性类型,因此不需要对决策矩阵进行规范化。
步骤2 用P2TLHFHM 算子对矩阵H中的评价值进行集结,当p=q=1时，结果为LH1=P2TLHFHM1,1(LH11,LH12,LH13)={〈(s3,0.321 9),0.557 0,0.526 1,0.482 5,0.508 2〉,〈(s3,0.468 1),0.499 3,0.549 0,0.473 2,0.517 5〉,〈(s3,0.468 1),0.608 6,0.565 6,0.542 9,0.581 3〉,〈(s4,-0.389 4),0.595 2,0.550 7,0.527 2,0.567 0〉}；LH2=P2TLHFHM1,1(LH21,LH22,LH23)={〈(s3,0.472 1),0.533 9,0.457 5,0.434 4,0.500 9,0.430 2,0.383 8〉,〈(s4,-0.381 7),0.501 9,0.420 1,0.395 5,0.466 5,0.391 0,0.341 5〉}；LH3=P2TLHFHM1,1(LH31,LH32,LH33)={〈(s3,0.468 1),0.456 7,0.433 5,0.385 1,0.410 2〉,〈(s4,-0.382 5),0.477 7,0.518 8〉,〈(s4,-0.389 7),0.381 4,0.355 0,0.327 7,0.355 2,0.362 6,0.335 4,0.312 6,0.340 7〉,〈(s4,-0.240 4),0.452 2,0.429 0,0.416 2,0.435 5〉}。
步骤3 求LHi(i=1,2,3)的期望函数值,可得F(LH1)=1.876 5,F(LH2)=1.551 8,F(LH3)=1.512 2。
步骤4 根据定义5可得A1≻A2≻A3。
因此,最佳方案是港口A1。
表1 2-TLHFSs决策矩阵HTable 1 2-TLHFSs decision matrix H
4.2 参数p和q的影响
p和q的取值对P2TLHFHM算子排序结果的影响如表2所示。表2显示最佳方案为A1，体现了算子的灵活性，同时也表明参数p和q在最终排序中起着非常重要的作用。P2TLHFHM 算子的这些特征使聚合过程灵活且可行,所以对于实际生活的决策问题至关重要。因此,尽可能在 P2TLHFHM 算子中选取合适的参数值,以获得稳定可靠的最终排序结果。
表2 p和q的取值对P2TLHFHM算子排序结果的影响Table 2 The effect of ranking results of P2TLHFHM operators when p and q taking different values
5 小结
犹豫二元语义模糊集是表达决策者偏好的模糊性、不确定性、犹豫性以及避免语言信息损失的有力工具。本文基于犹豫二元语义模糊信息首先提出了 P2TLHFHM 算子,并对该算子的一些性质和特殊形式进行了研究。基于此，设计了一种多属性决策问题的求解方法,该方法充分考虑了属性之间的相互关系。通过实例分析参数p和q对最终排序结果的影响,体现了算子的灵活性以及所提方法的可行性。
