基于“四度六步”教学法的教学设计与实践
2020-05-24文尚平戴启猛
文尚平 戴启猛
【摘 要】本文以高中人教 A 版必修 1 函数复习课“比较大小”为例，聚焦高考考查的问题，论述运用“温故—引新—探究—变式—尝试—提升”六步教学法架构、设计一节数学复习课的方法及教学实践，创设一节“有温度、有梯度、有深度、有宽度”的“四度”精彩课堂，以使课堂“生态”开放而欢快、课堂生成自然、课堂效果明显、课堂影响深刻。
【关键词】“四度六步”教学法 高一复习课 教学设计
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2020）42-0041-06
在以“送教送培”为主题的宾阳县全体高中数学教师数学学科能力培训活动中，戴启猛老师做了题为《〈中国高考评价体系〉研读感悟及备考建议》的专题报告，并基于他原创的“四度六步”教学法的理论框架对文尚平老师执教的人教 A 版高一函数复习课“比较大小”进行了点评，现把整节课的预设与实际过程梳理如下。
一、基本情况
学生来自宾阳县某普通高中，学生的数学学习兴趣弱，基础、习惯也都比较差，数学的独立思考能力、合作交流能力基本还没有形成。因此这节课的定位是基于学生層次较低的现状，面向全县数学教师开展一节章末复习的示范课。
二、教学内容及其分析
（一）内容
1.高考考向。在近年高考中，关于初等函数的考查经常以“比较大小”的方式进行。基于素养立意考查学生解决这一关键问题的方法和学科精神，基于能力立意考查学生“代数运算、函数与方程”知识的创新意识和应用能力，基于知识立意考查学生“函数图象与性质”知识与方法的掌握情况。可见，“比较大小”是中学数学常见的基本问题之一。
2.知识图谱。这部分的知识图谱见图 1。
3.内容主线。本节课主要利用代数运算与函数来展开“比较大小”的复习，寻找代数式之间的大小关系。重点是初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的图象和性质的应用，同时突出数形结合的思想方法。
（二）教学内容说明
进入高中后，学生的知识得到不断丰富和发展，解决问题的能力也不断得到提升。“数值的大小比较”最开始应该来自数轴，因为所有实数都对应着数轴上的一个点，数轴的方向便规定了实数的大小方向。但对一个代数来说，我们就难以直接判断两个代数的大小了。这时需要通过代数运算（减法或除法），甚至更高级的函数工具来解决。随着变量数学的发展，用函数的方法比较代数的大小时，主要利用函数的图象和性质，也用到与大小比较有关的其他知识，特别是利用初等函数的单调性、导数判断函数单调性这一些先进的工具。因此，本堂课通过比较大小，旨在将过去一些重要知识重新整理并形成联系，提高学生对知识的综合应用能力。
三、教学目标及其解析
（一）目标
1.学生通过利用函数的图象和性质比较两个数的大小的经历，掌握比较大小的知识、技能与方法。
2.学生在通过解决比较大小问题后，进一步体会函数与方程思想，感悟数形结合思想方法的重要性，提高自身的推理论证能力。
（二）解析
1.能利用函数的图象和性质比较两个数的大小，包括将两个数的大小问题转化为函数值的比较问题，然后通过函数的图象进行观察比较，并通过函数的单调性做出推理分析。
2.进一步培养数形结合的思想方法的运用意识，培养学生学会将所求与函数图象及其图象上点的坐标联系起来分析函数的单调性的能力，进一步提高学生的推理论证能力，通过求解或证明具体问题提高学生的代数推理的思维能力。
四、教学问题诊断分析
在教学设计中，问题的设计、生成与变式是追求有效教学的重要因素，如何从课本习题出发，设计有梯度、有宽度、有深度的问题，需要老师对教材有深度的理解。
在课堂交流中，学生不懂的时候，需要老师有“把学生问懂”的智慧，除了“提好”问题，还要提“好问题”，问题的设计遵循“四度”教学理念。
在课堂教学中，解决问题所用到的知识和方法，需要在课前回顾、整理，并给予及时点拨。鉴于学生基础较为薄弱的现，在实际教学中扶着学生走可能比领着学生走更合适。在解决问题过程中所遇到的困难可由老师结合具体情况进行适当的引导，因为代数推理能力的培养需要有一个长期的过程，可遵循“六步”教学策略。
五、教学支持条件分析
教学支持条件主要有两个方面，一是比较大小的题型较多，所用的解决方法也众多，有必要借助多媒体，采用思维导图的方式展开本节的复习;二是基于函数的图象和性质，可利用几何画板展示函数的图象，用数形结合的方式比较大小。
六、基于“四度六步”教学法的教学过程设计
（一）温故—— 复习提问，温故孕新
【问题 1】数学中有哪些常用的“比较大小”的知识和方法？
师：从小学、初中开始，就接触到了“比较大小”，进入高中后经过必修 1 的学习，我们对“比较大小”有了更深的认识。我们以往有哪些比较大小的知识和方法呢？哪位同学愿意同我们分享？
生：我们曾学习过“数”的大小比较、“式”（幂函数、指数函数、对数函数代数式）的大小比较。
师：我们常用的“比较大小”的工具有哪些呢？
生：我们常利用数轴来解决“数”的大小比较问题，利用函数图象和性质来解决“式”的大小比较问题。
师：我们常用哪些方法来“比较大小”？
生：在方法上，我们常用做差或者做商比较法、函数的单调性法、图象法。
〖设计意图〗该问题的设计试图遵循“一明一暗”两条线原则。明线是比较大小的知识结构：数的大小比较—— 代数式的大小比较—— 变量数学中的大小比较。暗线是比较大小的思想方法：从数轴上两个数的大小比较，到通过做差（或做商）比较大小，再到利用函数的图象和性质比较大小，最后到利用导数比较大小。
〖评析〗问题的设计也是由具体知识到解决问题工具再到解决问题思想方法的回顾，梯度呈现，逐步形成体系。“一明一暗”将中学数学的很多重要内容串联起来，形成了一条具有丰富思想方法的知识线索。教学的目标非常巧妙地“孕”藏其中，一句“哪位同学愿意同我们分享？”更是充满老师真切的期待，让学生听起来倍受激励，倍感温暖。
师：大家回答得都很好。同学们不仅提到了“比较大小”相关的知识，也提到了“比较大小”的具体方法、工具。我们知道，数学中的“大小比较”，经历了“数—— 代数式—— 变量数学”三个阶段。那么，高考又是怎样考查比较大小的呢？请看问题 2。
【问题 2】请同学们根据下面高考试题的结构特点，思考这道试题考查的是什么问题，以及考查了哪些已经学过的内容？
（2017 年课标 1，理 11）若 x，y∈R+，且 2x=3y=5z，则（ ）。
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
生：本题考查的是“式”的大小比較问题。
生：本题考查了指数与对数的相互转化，指数、对数运算的知识，以及指数与对数函数的图象和性质等相关知识。
〖设计意图〗复习课需要有高考的站位，“以考为向，以学定教”。先抛出这一典型且有挑战性的高考真题但并不着急解决（具体求解留在“师生互动，变式深化”环节），而是引导学生先挖掘此高考真题中考查的小问题—— 具体问题的知识、结构特点，从而展开指、对、幂函数图象和性质的复习，理清高考中“比较大小”知识考查的主线，明确高考考查的重点、难点、热点，准确把握“比较大小”的考查要求，为学生科学备考提供依据。
师生活动：基于这一道高考题考查的关键问题，回顾前面已经学习过的指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质（如表 1）。
〖设计意图〗复习巩固这三个初等函数的图象和性质，为本节课“比较大小”的学习搭好梯子、架子。在内容的呈现上，表格更直观形象。
〖评析〗瑞士现代儿童心理学家让·皮亚杰认为：“学习并不是个体获得越来越多外部信息的过程，而是学到越来越多有关他们认识事物的程序，即建构了新的认识图式。”（图式是皮亚杰理念体系中的一个核心概念，是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式。我们可以把图式看作是心理活动的框架或组织结构。在皮亚杰看来，图式可以说是认知结构的起点和核心，或者说是人类认识事物的基础。因此，图式的形成和变化是认知发展的实质）为此，笔者主张的“温故”策略，教师的设计应把握三个技术要领：一是“温故”应指向前一课学习的主要内容，二是“温故”应指向与本节新课关联的知识，三是“温故”应设计为孕育新知铺垫的问题。本课设计的“复习提问，温故孕新”环节，从数值的大小比较到变量数学的大小比较，不仅体现数学知识独特的逻辑和系统，而且是在复习旧知识的过程中蕴含新的教学内容，为新知识的教学铺平道路，充分诠释复习提问的意义和数学教学的艺术。
（二）引新—— 创设情境，引入课题
师：有了前面的基础，下面我们围绕“式”的大小比较展开本节课的学习。同学们能解决下面的问题吗？
【例 1】（课本 59 页，第 7 题）比较下列各组数的大小。
（1）30.8，30.7 （2）1.012.7，1.013.5
（3）0.75-0.1，0.750.1 （4）0.993.3，0.994.5
生：（1）（2）同底数，则利用指数函数 y=3x，y=1.01x 的单调递增性质;（3）（4）同底数，则利用指数函数 y=0.75x，y=0.99x 的单调递减性质。
师：同底数、不同指数的指数式，我们常利用指数函数的单调性比较大小。可是，如果是指数同、底数不同，甚至底数、指数都不同的情况下，那么又怎么比较大小？
〖变式1〗比较下列各组数的大小。
（1） （2）
（3） （4）
生：（1）同指数 0.5，利用幂函数 y=x0.5 的单调递增性质;（2）底数不同，化为同底 3，再利用函数 y=3x 的单调递增性质;（3）指数不同，化为同指数 5，再利用函数 y=x5 的单调递增性质;（4）如既不能化为同底，又不能化为同指，则利用中间量 1，与 1 比较。
〖设计意图〗通过题组训练，聚焦幂值大小比较最常见的三种情形，指导学生掌握这三种题型的基本解题思路，掌握解题过程中相关的思想方法。
师生活动：归纳、整理比较指数式大小的一般思路和方法，如图 2。
图 2
〖评析〗此环节设计是基于学生已有的知识和经验，从课本习题出发，对课本习题进行变式，引导学生复习、思考底数、幂指数发生变化的情况下指数式大小比较的差异。迁移运用知识，强化从特殊到一般的解决问题的数学思维方法。课堂教学不仅要指向核心的学习内容，而且要体现数学课堂应有的梯度，保证课堂教学得到“托底”。
（三）探究—— 合作探究，活动领悟
师：类比指数式的大小比较的复习方式，请同学们谈谈对数式大小比较的复习方法。
生：在顺序上，我们先复习底数同、真数同的对数式的大小比较，再复习底数、真数都不同的对数式大小比较。
生：在策略上，应该利用对数函数的图象和性质。
师：根据同学们的想法，下面我们从一道课本习题出发，复习对数式大小比较的一般解法。
【例 2】（课本第 73 页，第 3 题）比较下列各题中两个值的大小。
（1）lg 6，lg 8 （2）log0.5 6，log0.5 4
（3） （4）log1.5 1.6，log1.5 1.4
生：都是同底数，分别利用对数函数 y=lg x，log0.5 x，，log1.5 x 的单调性。
师：如果底数不同，甚至底数、真数都不同，那么又怎么比较大小？请同学们根据下面的变式题前后四人小组讨论，提出解决问题的思路和方法。
〖变式 2〗比较下列各组数的大小。
（1）log0.3 7，log9 7 （2）log6 7，log7 6 （3）log3 π，log2 0.8
师：底数不同的情况下，我们有办法化为同底数吗？
生：换底公式 。
师：这 3 个问题的解题过程是怎样的？
生：（1）真数同，利用换底公式，或者底大图低（x>1）的规律;（2）（3）底数、真数都不同，利用中间量 1，0。
〖设计意图〗通过题组训练，聚焦对数值大小比较最常见的三种情形，并指导学生掌握这三种题型的基本解题思路，掌握解题过程中相关的思想方法。
师生活动：师生合作，归纳、整理比较指数式大小的一般思路和方法，如图 3。
〖评析〗什么是探究学习？探究学习是指学生在教师指导下，以类似科学研究的方式去主动获取知识、运用知识、解决问题、形成观点的一种学习。这种学习不沉湎于纯粹的数学知识，也不直接给出现成的结论，而是让学生在理论学习、史料阅读、问题讨论、动手操作、课题研究中获得学习能力、掌握学习方法，从而学会学习。显然，探究式学习改变了以往学生被动接受学习的现状。教师应创造条件让学生能积极主动地去探索、尝试，更好地发挥个体创造潜能，真正成为学习的主人。“探究”策略应把握二个技术要领：一是“探究”的关键是设计好的数学问题;二是“探究”的实效是学生参与的广度和深度。本环节类比指数式大小比较的學习，引导学生思考底数、真数发生变化的情况下的对数式大小比较的差异。通过“合作探究，活动领悟”实现知识的迁移应用，强化从特殊到一般获得问题解决的数学思维方法。由师生合作系统归纳对数式的大小比较方法，让学生在进一步领悟数学学习的本质，体现数学课堂应有的思维深度。
（四）变式—— 师生互动，变式深化
师：通过上述两个问题，我们复习归纳了常见的有关幂值、对数值大小比较的题型及方法，归根结底，最终都是回到初等函数的图象和性质的应用上。然而，高考中有关大小的比较问题的形式远不止这些，请同学看下面的问题。
【例3】已知 x，y∈R+，且 2x，x2，3y 满足：
（1）若 2x=x2，则满足方程的解有几个？分别等于多少？
（2）试比较 2x 与 x2 的大小;
（3）若 2x=3y，试比较 2x 与 3y 的大小。
师：问题（1）方程的解存在吗？大家判断的依据是什么？
生：存在，利用函数的图象，可以确定该方程有解。
师：该方程的解是什么？有几个？
生：两个，分别是 2，4。
师：你是怎么做到的？
生：在（0，+∞）内取 x 的值，然后比较 2x 与 x2 的大小，具体数据如表 2。
由表中看出，越往后，2x 的值比 x2 越大，所以，方程的根为 2，4。
师：很好，这位同学利用了特值的思想方法，并以表格的方式呈现，具体、直观。只是，老师觉得不放心，会不会存在其他的根，而表格却没有呈现出来呢？
生：利用几何画板，画出 f（x）=2x，g（x）= x2 的图象，利用图象和它们的增长快慢的特征进行判断。
师：很好，这位同学利用了指数函数“爆炸式增长”的图象特点来解决此问题。如图 4 所示。
师：在完成问题（1）的基础上，问题（2）的答案是什么？
生：当 0 〖设计意图〗方程的根的个数问题，常转化为函数图象交点个数的问题，本质是代数问题几何化，即数形结合的思想方法。利用几何画板展示两个函数图象交点情况，并可以准确解决方程的根的个数问题、根的取值问题。指数式、对数式的大小比较可以严格遵循程序化的解题方法，但是特值化、作差、作商比较法是必须掌握的方法。 师：那么问题（3）又如何解决呢？ 生：特值法。当 x=3 时，2x=8=y3，则 y<2，故 2x=6>3y。 生：作差比较法。令 2x=3y=3，则 x=log2 3，y=1，故 2x-3y=log2 >0。 生：作商比较法。令 2x=3y，则 lg 2x=lg 3y，即 xlg 2=ylg 3，。 〖评析〗围绕“式”的大小比较这个主题，从指数函数、对数函数、幂函数综合角度设计问题。在题解中，给予学生的思想是，既注重通性通法的掌握，又注重巧思巧解的分享。这一教学设计体现了高中数学复习课应有的思维深度和综合宽度。本环节设计的本质依然是渗透“知识”与“方法”这两条主线，并把三大函数模型的特征及联系有机纳入其中。 （五）尝试—— 尝试练习，巩固提高 1.（2017 年课标 1，理 11）若 x，y∈R+，且 2x=3y=5z，则（ ）。 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 2.设 x，y，z 为大于 1 的正数，且 log2 x=log3 y=log5 z，则 下列选项不可能成立的是（ ）。 A.B. C.D. 〖设计意图〗与课前引例相呼应，基于问题的结构变式，让学生反复聚焦本节课的重点知识、主要方法，帮助学生进一步理清“式”的大小比较问题的解题思路和方法。 〖评析〗俗话说：“事非经过不知难。”如果说“温故”“引新”“探究”“变式”等四个环节都有教师“扶”的因素，那么“尝试”环节就是学生真正地自主学习和尝试学习。教师在此环节设计应把握三个技术要领：一是“尝试”应适合学生认知层次;二是“尝试”应指向新知巩固提高;三是“尝试”应及时回授练习效果。教师在讲评中再次强调：“类似本题所讨论的比较大小的问题，既可以转化为两个函数来分析，又可以做差后转化为利用一个函数的图象和性质进行分析。当然，通过几何画板作图求值，能为我们提出问题和分析问题提供更加直观而便捷的帮助。”充分彰显“尝试练习，巩固提高”的应有之意。 （六）提升—— 适时小结，兴趣延伸 师：同学们能否画一个结构图表示这节课所学的内容？ 学生画出的知识结构图如图 5 所示。 〖评析〗在课堂教学中，笔者主张的“提升”策略应把握三个技术要领：一是帮助学生解开思维疙瘩，恰时点拨;二是指向主要知识方法思路，恰点归纳;三是重在激发学生学习兴趣，恰到好处。其实，在本节课例中，老师在此环节只是对原有的教学板书进行适当的补充和完善，对关键的思想方法进行必要的重复和强调。因为他在前述的教学过程中已经做到了恰时点拨，恰点归纳，恰当激励。 七、课后作业（略） 八、板书设计（略） 九、课后总评 （一）“四度六步”教学法的理论框架 “四度六步” 教学法，是戴启猛老师历时 20 年教研实践后提出的数学教育教学主张和策略，是以追求“四度”（有温度、有梯度、有深度和有宽度）精彩课堂为目的，遵照“温故（复习提问，温故孕新）—— 引新（创设情境，引入课题）—— 探究（合作探究，活动领悟）—— 变式（师生互动，变式深化）——尝试（尝试练习，巩固提高）—— 提升（適时小结，兴趣延伸）”六个环节精准设计和组织的初中数学教学方法。其中，“四度”课堂是教学主张、教学理念，“六步”环节是实践架构，也是教学策略。“四度六步”教学法的目标是创造更加精彩的课堂。操作模型如图 6 所示。 （二）用“四度六步”教学法指导高中单元（章末）复习课的步骤 基于“四度六步”教学法的数学单元（章末）复习课的教学任务是：“构建网络，提炼模型，形成思想，学会思辨。”其结构是：“温故引新，构建网络;探究合作，提炼模型;问题变式，形成思想;尝试提升，学会思辨。” 1.温故—— 复习提问，温故孕新。以重温知识、构建知识网络为目的，其作用是将零碎的知识点系统化，形成知识体系。“温故”既指向前单元典型问题学习的主要内容，又指向与本节复习课关联的知识，同时要注意为孕育新知识、方法做铺垫的设计。 2.引新—— 创设情境，引入课题。提炼出单元典型问题的解题模型，进而对模型进行固化，其作用是在建模和解模的过程中渗透基本方法、基本技能和基本活动经验。“引新”应基于学生已有的知识和经验，应指向教学目标和核心内容，但要遵循思考性、探索性和开放性的基本原则。 3.探究—— 合作探究，活动领悟。通过合作学习，将典型问题与其他知识板块进行交汇、拓展、引申，让学生在解决问题的过程中形成并发展数学思维，其作用是让学生体验章末复习的基本流程。“探究”的关键是设计好的数学问题，指向学生课堂参与的广度和深度。 4.变式—— 师生互动，变式深化。通过对问题进行变式教学，开展一题多解、多题一解的教学活动，固化问题求解模型，从而内化为思想，其作用是解决学生听得懂课而不会解题的困惑。“变式”应遵循教学的实际，也应把握设计的梯度，还应指向知识的本质。 5.尝试—— 尝试练习，巩固提高。指通过指导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学模型解决现实问题，用数学语言表达现实世界，其作用是巩固所学知识，发展数学思维。“尝试”应适合学生认知规律，也应指向新知巩固和提高，还应及时回授以取得练习效果。 6.提升—— 适时小结，兴趣延伸。通过思辨，培养学生的应用意识和创新意识。其作用是引导学生思考问题和探讨解法的异同，从而适时感悟学习规律，及时提炼方法。“提升”应帮助学生解开思维疙瘩，适时点拨，也应指向主要知识、方法、思路。恰当归纳，还应以激发学生学习兴趣，恰到好处为基本原则。 “四度六步”教学法以精彩的数学课堂为追求目标，而一节精彩的数学课，关键在于课堂的生态、师生的状态。在精彩的数学课堂中，学生应该是开放的、欢快的，应该能看到孩子们自信的眼神，听到孩子们生长的声音，使师生的心得到舒展，情感得到升华。这个课例不仅遵循“四度六步”教学法所倡导的理念和程式，而且较好地诠释了“四度六步”教学法，让我们感受到一节精彩的高中数学复习课的惊人效果和独特魅力。 【参考文献】 [1]戴启猛.创造更加精彩的课堂——初中数学“四度六步”教学法的20年实践与探索[J].广西教育，2020（2）. [2]段小龙，叶 强，罗文平.基于“问题驱动”下的数学单元（章末）复习课的教学设计[J].数学通讯（下半月），2018（9）. [3]戴启猛.基于初中数学“四度六步”教学法的理论基础与实践架构[J].中小学课堂教学研究，2020（3）. 【基金项目】本文系2021年广西“十四五”教育科学规划B类重点课题“基于核心素养下高中数学‘学、教、评一致性教学设计的理论与实践研究”（2021B200）的阶段成果。 【作者简介】文尚平，硕士研究生，高级教师，南宁市第二中学教师，南宁市学科带头人，广西基础教育名师青蓝工程培养对象，广西教育科学研究院、南宁市教科所数学学科中心组成员，竞赛教练，第5届全国数学优质课比赛一等奖获得者;戴启猛，正高级教师，南宁市教育科学研究所所长，广西“21世纪园丁工程”首批百名自治区级（A类）培养对象、教育部全国（万名）中小学骨干教师培养对象、广西“基础教育百名名校长工程”培养对象，教育部“校长教育家工程”培养对象。 （责编 卢建龙）
