RC和RL一阶电路响应的仿真分析及实验实现

蓝海江

（广西科技师范学院机械与电气工程学院，广西来宾 546199）

0 引言

电路分析（或电路）课程是电气类、电子信息类专业的专业核心课程。该课程理论性强、概念抽象。对于许多普通院校学生而言，该课程是一门难度系数较高、比较枯燥的课程，因此，教学效果不容乐观［1］。为了提高该课程的教学效果，与时俱进地进行教学改革［2-4］，势在必行。

存在电容、电感的电路称为动态电路。由于描述动态电路的方程为微分方程，而且动态电路的过渡过程非常短暂，教学实践表明，许多普通院校学生难以理解其中的物理内涵，而基于计算机仿真辅助教学，是帮助学生突破这些瞬态困惑的有效手段［5-7］。

电路方程为一阶常微分方程的动态电路，称为一阶电路。RC和RL一阶电路的零输入响应及零状态响应，是动态电路的基本内容，因而成为仿真分析、研究的热点［8-10］。但是，由于RC和RL一阶电路互为对偶电路［11］，并且RL一阶电路响应实验较难实现，因此，纵观RC和RL一阶电路响应的仿真分析及其实验研究的报导，RC一阶电路响应较为常见，而RL一阶电路响应则较为鲜见。

尽管一阶电路是最为简单的电路，但许多普通院校学生在理解上一直有困难［12］。为了帮助学生能够直观观测动态元件的动态特性，深入理解动态方程的物理内涵，本文以RC和RL一阶电路响应为例，首先，基于NI Multisim14.0软件仿真这些电路的响应，并依据仿真结果测量电路的时间常数；然后，基于模拟电路实验箱搭建实验电路，实现实验比较与验证。

1 一阶电路响应及其时间常数

1.1 RC和RL一阶电路的零输入响应

激励为零，由电路动态元件初始状态产生的响应，称为零输入响应。RC和RL一阶电路零输入响应的一般表达式为［13］

式（1）中，f（0+）为初始值。对于RC电路，时间常数τ=ReqC；对于RL电路，时间常数τ=L/Req；Req为t≥0时，移去动态元件后，单端口网络的除源等效电阻。

1.2 RC和RL一阶电路的零状态响应

动态元件初始状态为零，由激励产生的响应称为零状态响应。RC和RL一阶电路零状态响应的一般表达式为［13］

式（2）中，y（∞） 为稳态值。

1.3 一阶电路时间常数的测量方法

由于动态元件参数的限制，一阶电路的时间常数通常很小，较难测量［14］。一阶电路时间常数的测量方法有电压对称法［15］、时标法［16］及连续积分法［17］等。

把t=τ，代入式（1）、式（2）得

式（3）表明，经过时间τ后，动态元件的零输入响应为其初始值的0.368倍；式（4）表明，经过时间τ后，动态元件的零状态响应为其稳态值的0.632倍。据此，可利用时标观测法，测量电路的时间常数。

2 RC和RL一阶电路响应的仿真分析

2.1 RC和RL一阶电路响应的仿真

本文使用NI Multisim14.0作为仿真软件。该软件具有丰富的仿真分析能力。为了便于实现实验验证，仿真元件的参数设置，基于常用、低值的电子元器件。

RC和RL一阶电路响应的仿真电路如图1（a）、图1（b）所示。其中，信号发生器XFG1的参数设置为：方波，20Hz，10Vp，占空比50%；为了便于观测，偏置设置为10V。Uc、IL为网络名称。为隔离电阻，隔离后，通过示波器XSC1能同时观测到输入的激励波形和电路的响应波形。

当然，使用示波器电流探头，能更加便捷探测电流，但会增加实验成本。为了便于实验实现，本文利用取样电阻来间接地观测电感电流。

当激励方波的周期T，满足T/2≫5τ时，方波的上升沿相当于零状态响应的正阶跃激励信号，方波的下降

图1 RC和RL一阶电路响应仿真电路

沿相当于零输入响应的负阶跃激励信号［18，19］。据此，本文利用信号发生器输出的方波，模拟激励信号。

由图1（a）可知，RC一阶电路的时间常数为，τC=ReqC=2.870m s；忽略Rq的影响，则τC≈3.300m s。由图1（b）可知，RL一阶电路的时间常数为，τL=L/Req=3.163m s；忽略Rq的影响，则τL≈ 3.119m s。

激励方波的频率为20Hz，周期T=50m s，显然，满足T/2≫5τ的要求。

点击仿真运行按钮，即获得对应的仿真结果，如图2所示。

由图2（a）和图2（b）可知，在方波（A通道）的激励下，在仿真示波器上，可直观地观测到RC和RL一阶电路的响应波形（B通道）。

图2中，零状态响应的正阶跃激励信号与方波上升沿对应，零输入响应的负阶跃激励信号与方波下降沿对应，因此，B通道的AB段为RC或RL一阶电路的零状态响应曲线，B通道的BC段为对应的零输入响应曲线。

由图2可知，RC和RL一阶电路响应的波形相似，但是，图2（a）的响应曲线为电容C两端的电压波形，图2（b）的响应曲线为电感L的电流波形。

图2 RC和RL一阶电路响应仿真结果

2.2 RC和RL一阶电路时间常数的瞬态分析测量

由于一阶电路的时间常数通常很小，因此，利用实物实验较难精确测量。而利用计算机仿真，则可便捷、精确地测量电路的时间常数。

本文利用NI Multisim14.0软件的瞬态分析功能，测量RC和RL一阶电路的时间常数。

如图1，搭建仿真电路后，选择“仿真”菜单中的“Analyses and simulation”项。在其对话框中，单击“瞬态分析”项；在相应栏目中设置参数后，单击“Run”按钮，即出现瞬态分析结果。

RC和RL一阶电路响应的瞬态分析结果，如图3所示。其分析参数相同：起始时间0.045s，结束时间0.095s，其它取默认值。输出变量：RC电路为V（uc），RL电路为V（IL）。

由图3可知，依据瞬态分析结果，也可观测RC和RL一阶电路响应的动态过程。

图3 RC和RL一阶电路响应瞬态分析仿真结果

基于图3，利用光标定位法（时标法），可便捷地测量电路的时间常数。

依据图3（a）测量RC一阶电路充电（零状态响应）时间常数的步骤如下。

（1）移动光标2，读出电容C端电压UC的最大值和最小值，结果分别为2.6083V和0V。

（2）把光标1定位于电容C充电的起始处，即使x1=50.0000ms、y1≈0V；把光标2定位于电容C充电至稳态值（UC的最大值）的0.632倍处，即使x2=52.8743ms、y2=1.6484V。

（3）读取此时光标1与光标2之间的时间差dx，即为RC一阶电路充电（零状态响应）时间常数，τc=dx=2.8743m s。

参见图3（a），利用光标定位法，RC一阶电路放电（零输入响应）时间常数的测量结果为，τc=2.8756m s。

同样地，利用光标定位法，测量RL一阶电路充磁（零状态响应）时间常数的数据，如图3（b）所示，即x1=50.0000m s、y1≈0V，x2=53.1808m s、y2=270.5201m V，τL=dx=3.1808m s。

参见图3（b），RL一阶电路放磁（零输入响应）时间常数的测量结果为，τL=3.1838m s。

基于光标定位法，本文还依据图2的响应仿真结果，测量了电路的时间常数。RC一阶电路充、放电时间常数的测量结果分别为，τc=2.938m s和τc=2.931m s；RL一阶电路充、放磁时间常数的测量结果分别为，τL=3.178m s和τL=3.172m s。

由此可知，仿真测量的结果与理论值一致。

2.3 RC和RL一阶电路响应波形上升时间的仿真测量

在控制领域中，上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。

利用光标定位法，依据图2，RC和RL一阶电路响应波形上升时间的测量结果分别为，trc=5.934m s和trl=6.742m s；而依据图3进行测量，则结果分别为，trc=6.2615m s和trl=6.9256m s。

3 RC和RL一阶电路响应的实验实现

3.1 RC和RL一阶电路响应实验

基于模拟电路实验箱（DICE-A9）上的电子元器件，以及荧光灯镇流器，依据图1（a）和图1（b），可便捷地搭建RC和RL一阶电路响应实验。

实验时，示波器（GDS-1102A-U）A通道探头使用×10档；信号发生器（AFG-2225）的参数设置为：方波，20Hz，10Vpp，占空比50%，偏置0Vdc（响应波形、时间常数与偏置设置无关）。利用固纬LCR-915测试仪，测量R、C、L元件参数。

参见图1（a），在RC一阶电路响应实验中，元件的测量值为：q=2.194kΩ，C=9.142μ F，3265Ω。据此计算，时间常数τC=ReqC=2.598m s；忽略Rq，则τC≈2.985m s。

李永林：新时代呼唤新担当，新时代需要新作为。肩负党和人民群众的重托，立足环渤海地区的宏大基业，面对打造世界一流能源化工企业的时代责任，天津石化正以时不我待、只争朝夕的紧迫感，全力融入京津冀协同发展，坚定不移做强做优做大国有资本，大力推进全产业链协同发展，加快建立创新引领、集约高效、智能融合、绿色低碳的先进工业体系。全力建成技术质量领先、配套设施完备、安全绿色环保、服务优质高效、集群效应凸显的世界级石化基地，成为向产业链高端攀升、向世界一流进军的杰出代表，成为拉动天津经济增长、助力人民美好生活的强劲引擎，推动美丽天津天更蓝、地更绿、水更清，环境更宜居、生态更美好、人民生活更加殷实安康。

利用华强牌荧光灯镇流器（参数：40W、220V、50Hz、0.43A、tw105、Δt55、λ0.5）作为电感元件（RL、L）。参见图1（b），在RL一阶电路响应实验中，元件的测量值为：q=2.194kΩ，L=59.32Ω，L=970.6m H，i=149.56Ω，。据此计算，时间常数τL=L/Req=3.204m s；忽略Rq，则τL≈ 3.160m s。

通过示波器观测到的RC和RL一阶电路响应的实验结果，如图4（a）、图4（b）所示。

图4 RC和RL一阶电路响应实验结果

图4（a）中，通道1为激励方波，通道2为RC一阶电路响应波形。图4（b）中，通道1为激励方波，通道2为RL一阶电路响应波形。

比较图2与图4可知，实验结果与仿真结果一致。

3.2 RC和RL一阶电路时间常数的实验测量

3.2.1 依据上升时间测算电路的时间常数

对于图1（a）所示的RC一阶电路，依据仿真测量结果（平均值）可知，其上升时间与时间常数的关系为，trc=2.0982 τC。对于图1（b）所示的RL一阶电路，依据仿真测量结果（平均值）可知，其上升时间与时间常数的关系为，trl=2.1494 τL。

由于实验结果与仿真结果一致，并且实验元件的参数与仿真元件的参数相差细微，因此，可以依据实验结果响应波形的上升时间来测算电路的时间常数。

由图4（a）可知，RC一阶电路响应波形的上升时间为，trc=6.015m s，由此可测算出，τC≈2.867m s。由图4（b）可知，RL一阶电路响应波形的上升时间为，trl=6.647m s，由此可测算出，τL≈3.092m s。测算结果与理论值一致。

3.2.2 利用光标定位法测量电路的时间常数

实验示波器具有自动测量和光标测量功能。因此，基于实验示波器，利用光标定位法（时标法），同样可以测量RC和RL一阶电路的时间常数。

测量时，把通道1屏蔽，只显示并放大通道2的RC或RL一阶电路响应曲线。

依据图4的实验结果，RC一阶电路充、放电时间常数的测量结果分别为，τc≈2.740m s和τc≈2.760m s；RL一阶电路充、放磁时间常数的测量结果分别为，τL≈3.175m s和τL≈3.160m s。

实验测量结果，与仿真测量结果及理论值一致。

4 结论

本文利用NI Multisim14.0软件，仿真了RC和RL一阶电路的零输入响应及零状态响应，并利用光标定位法，测量了电路的时间常数。为了让学生深入理解动态电路响应及过渡过程，直观地比较仿真结果与实验结果，本文搭建了对应的实物实验，进行演示和测量。

依据仿真和实验的分析及测量结果可知：当方波的周期满足T/2≫5τ时，可用于模拟RC和RL一阶电路响应的正、负阶跃激励信号；通过仿真，可直观地观测RC和RL一阶电路响应的曲线及其动态过程，基于软件的瞬态分析等功能，利用光标法，可测量电路的时间常数；实物实验的结果，与仿真结果及理论值一致。

在RL一阶电路设计中，本文利用取样电阻来间接地观测电感电流，降低了实验成本。本文基于仿真结果，把时间常数与上升时间进行关联，通过类比，便捷地测算了实物实验电路的时间常数。

利用计算机仿真辅助RC和RL一阶电路响应教学，能让学生直观地观测到动态电路响应及过渡过程，从而深入理解其物理内涵及本质。利用本文的方法，可对二阶电路等动态电路进行仿真分析和实验研究。