对于圆锥形号筒声学输出的研究

张睿智

摘 要

本文对圆锥形号筒输出声音的声学属性进行了理论与实验的探究。通过对传统假设进行分析，给出传统假设的优化，得到了较为接近实际的号筒传声模型。理论分析了圆锥形号筒的输入声音与输出声音在声压、频率、波形上的关系。并且从实验上探究了圆锥形号筒的形状、大小、材质，对于输出声音的声压的影响。

关键词

圆锥形号筒;声学输出;接近实际的号筒传声模型

中图分类号： TM46                     文献标识码： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 10 . 10

0 前言

一个简易的锥形或牛角形装置可以优化人声向远处收听者的传递。人们利用该现象制作了各式各样的号筒。而在生活中最常见的就是指数形、双曲线形和锥形的号筒。

前人对号筒中声音的传播大都基于假设：传播的声波的波阵面按照截面的规律变化。该假设存在以下的不足：首先，没有考虑过声音可以“透过”号筒壁进行传播，或被号筒壁吸收;其次，由于假设中的条件，后人在研究号筒时，大都假设号筒“无限长”，这也与实际情况不符。

本文将以圆锥形号筒为例，利用能量守恒定律，对传统模型中的“忽视能量损失”的假设进行修正，并对“有限长”号筒内外的声学输出进行探究。

1 绪论

我们先回顾一下传统的号筒模型。由传统假设，我们得到号筒内的波动方程应为：

S为号筒在x处的截面积，P为声压，而该圆锥形号筒的形状，如图1所示：

若用P=P（x）ejwt來表示输入声波，那么（1）式变为：

其中，k为输入声波的波矢。

当该号筒无限长时，在号筒内的反射波不存在，故而，上方的微分方程，解得：

上述过程存在如下的问题：

（1）声音在号筒内的传输过程是有损耗的。

（2）现实生活中无限长的号筒是不存在的，号筒外的输出声波也要探究。

2 理论分析

2.1 号筒内

首先，我们来解决问题1，当声波“撞击”到号筒壁时，将会有三个去向：被反射、发生透射或者被吸收。虽然绝大部分的声能会通过反射保留在号筒内，但还有相当的声能因为透射或吸收而损失掉，如图2所示：

这部分损失的声能，我们假设与该截面处的侧面积微元和声强值成正比，比例系数我们设为α，并定义该系数为耗散系数（α<1）。于是，我们可以利用能量守恒定律，得到以下方程：

W0是初始的声功率，I（x）是x处的声强值。

声强与声压的关系：

Pe为声压有效值，ρ0为空气介质密度，c0为声速。由（4）与（5）我们得到：

忽略其波形失真（在后面会解释原因），我们最终有：

其中P1（x）是x处的声压最值，P1（0）是喉部的声压最值。

（8）式是我们相对于传统的理论所给出的修正，相对于传统的（3）式，（8）式考虑到了材质因素的影响。

现在我们来讨论有关于号筒内声波的失真现象。由先前的推导过程我们发现P=P（x）ejwt中的时间项始终不受影响，故而对于号筒传声，是不存在频率失真的，即号筒内的输入频率与输出频率始终相同。但是号筒在传声过程中会存在谐波失真，原因主要有两点：

（1）当号筒口部的声压满足人们要求时，其喉部声压级大到十分可观。前腔中的空气发生很大的压缩（稠密）和膨胀（稀疏），这一过程十分迅速，以致空气来不及进行热交换。此时，空气的压缩和膨胀是一绝热过程，前室中PV满足：

PVγ=C（P为气压，C是常数）

P和V之间的关系如图三，若声源振幅较大时，在喉部形成的压力波不再是正弦波。声源向前振动（压缩）时，前室压强增大，并且大于声源向后振动（膨胀）时的压强降低，这种失真的压力波由喉部向号筒口部传播出去，便产生非线性失真。

（2）即使在喉部获得一个不失真的正弦波，声波在传播中也会产生失真。究其原因是大振幅时压力大的部分（压缩区）传播速度要比压力小的部分（稀疏区）传播速度大，从而造成波形失真（见图 2），其中包括 2次谐波失真。由此可以估算由于空气压缩和膨胀的不对称性而产生的2次谐波失真系数：D圆锥

上式中，D圆锥和D指数代表高度相同，两端开口面积相同的号筒：γ是空气的绝热系数，约为1.4;P（0）是喉部声压，若对应声压级为85dB，则声压为0.37Pa;L为号筒高度，设为1m;f为输入频率，设为1000Hz;P0是大气压，约为103kPa;声速c0常温下约为340m/s，由此估算得：D圆锥<5.74×10-3%

由此可见，对于圆锥形号筒，其非线性失真可以忽略不计。在下面的实验部分我们会针对号筒内频率和波形的稳定进行验证。

（3）号筒外

其次，我们来解决问题2，在号筒外的声波的波阵面属于活塞辐射，喇叭口看为圆形活塞平面。

对于号筒外的声波的传导应是三维的，但考虑到几何的对称性，我们将其降到二维（如图四）其中，是到号筒端口中心的距离，θ是r与号筒轴线的夹角，d为号筒口部的半径。对于远声场活塞辐射满足：

条件：远声场（r>>d）。其中P1（L）是号筒口部的声压最值，由号筒内的声波的传导决定，将号筒的高度L带入（7）得。d为号筒口的半径。J1（）表示1阶贝塞尔函数。对于（r，θ）处存在声压的最大值P1（r， θ）。

通过P1（r，θ）柱坐标系图像，我们可以对（11）有更直观的理解。（上图五是P1（L）对应 94.2dB，d=0.15m，K=18.5/m，时利用Matlab模拟的图像）

3 实验探究

（1）通过实验说明，号筒传导的声波发生的频率失真和谐波失真较少。实验器材：铁架台，小型音响，2.60mm厚的PVC塑料材质号筒（母线斜率a值为0.144，b为20.25mm，号筒高L为35cm），声压计。

方案：在号筒喉部放置小型音响作为声源（号筒与音响不接触），用铁架台进行固定，保证输入声波为500Hz正弦声波，在号筒口部放置声音示波器，观察输出声波的波形;移去号筒，在同一位置处再次测量进行对比。

对比两幅图像，我们发现，声音在号筒中传播时的频率失真和波形失真都较小，与理论相符合。

（2）验证理论输出压强的函数形式。

号筒内：方案：选择形状已知，材质固定均匀的号筒，首先测出输入的声压最值P1（0），再测量任意位置x处的声压，带入式（6），得α。然后测量不同位置处的声压，将实验值与理论值进行比较。

在实际实验中我们用到的是：铁架台，小型音响，2.60mm厚的PVC塑料材质号筒（母线a值为0.144，b为20.25mm），声压计。

经测量x=0.3m时，当输入声压级的最大值为82.5dB时，输出声压级为69.5dB（鉴于声压级满足：Γ=201g■，实验中我们使用的都是相对声压），故PVC塑料的α=0.044 ，故各处声压最大值满足：

号筒外：方案：固定r，验证P1与θ关系。固定θ，验证P1与r关系。

在实际实验中我们用到的是：铁架台，小型音响，2.60mm厚的PVC塑料材质号筒（母线a值为0.144，b为20.25mm），声压计。其口部输出声压级为94.2dB，号筒口半径d为0.15m。

首先固定r为1.5m，验证P1与θ关系。由输入参数，我们得到理论函数：

理论值与实验值相差较小，理论与实验符合得较好。

其次固定θ=0，验证P1与r关系。（控制其他参数不变）

我们得到：■=■

（3）验证号筒形状、大小、材质对号筒内外输出声压的影响。

号筒内：由（7）我们可以知道号筒内的输出声压与位置x、形状（母线形式）、材质都有关。由于与位置的关系在前面已经证明，故而只要探究输出声压与形状和材质的关系。

形状：控制号筒材质和高度不变，只改变其母线的函数（为方便起见，我们控制截距b不变，只改变斜率a），测量号筒端口处的输出声压，将测量值与实验值进行比较。

实验器材：铁架台，小型音响，0.075mm厚的牛皮纸材质号筒（高为30cm，b=1.5cm，a值为0.258、0.305、0.354、0.405、0.458、0.516、0.577），声压计。

a值为0.258的纸号筒，高度L为0.3m，在输入最大声压级为75.3dB時，口部声压级为50.2dB，故0.075mm牛皮纸的α=0.147 ，此时保持高度，输入声压，号筒材质不变，口部声压的最大值满足：

理论值与实验值相差较小理论与实验符合得较好。

材质：耗散系数与材料的隔声性能和吸声性能有关。隔声性能越差，吸声性能越好的材料，耗散系数越大。测量材质不同的号筒的耗散系数，并进行定性的验证。

号筒外：由（11）知，P1（r，θ）值与号筒口部输出值P1（L）有关，与口部半径d有关。

探究与P1（L）的关系：

我们知道P1（L）则与号筒的高度、形状、材质都有关，因此探究P1（L），便间接探究形状、材质对号筒外输出声压的影响。控制r=1.5m，θ=0，d=0.15m，则有：

探究与d的关系。控制r=1.5m，θ=0，P1（L）对应的声压级为70dBA，则有：

改变d，测量对应P1（1.5，0），将实验值与理论值进行比较。

理论值与实验值相差较小，理论与实验符合得较好。

4 结论

在号筒内：

（1）输出声压随着截面到入口的距离（X）增大而减小（X受号筒高度L限制）。

（2）输出声压随着号筒母线的斜率（a）增大而减小。

（3）输出声压随着号筒材质的耗散系数（α）增大而减小。

在号筒外：

（1）输出声压随着号筒外端口的输出声压P1（L）增大而增大;（P1（L）由在号筒内的传播规律决定）

（2）输出声压随着号筒外端口半径（d）增大而增大。

参考文献

[1]杜功焕，朱哲民，龚秀芬.声学基础[M].第二版.南京：南京大学出版社，2001.

[2]梁成义.号筒扬声器的工作原理和设计.电声技术[J].2004，01（16）.

[3]陈天润.圆形平面活塞式换能器的近场辐射特性的改善. 厦门大学[D].2001.