X型准零刚度隔振器的隔振特性分析

姚 国， 于永恒， 张义民， 武志花

(1.东北大学 机械工程与自动化学院， 辽宁 沈阳 110819； 2.沈阳化工大学 装备可靠性研究所， 辽宁 沈阳 110142)

在许多工程领域中，非线性隔振通常是一个关键问题.非线性隔振分为主动式和被动式，被动隔振器[1]由于具有可靠性高、外部能量零输入、结构简单等优点在许多领域得到了广泛应用，如车辆[2]、航天器[3]和精密仪器[4]等.近几年，准零刚度(quasi-zero stiffness，QZS)非线性隔振器以其优异的综合性能吸引了众多学者的关注[5].典型的非线性QZS隔振器在设计载荷质量m下，在其平衡位置处将正刚度kv和负刚度kh单元组合起来.QZS隔振器在静平衡位置具有高静低动的刚度特性，QZS隔振器具有较低的主共振频率和较小的静挠度，从而实现了高承载能力的低频隔振.

QZS隔振器可由多种方式实现，近些年，学者们提出了多种具有QZS特性的隔振系统模型.Cheng等[5]提出了一种几何非线性阻尼器，并将其应用于QZS隔振器中，以提高其低频隔振性能.Zhou等[6]提出了一种具有准零刚度特性的扭转隔振器，用于衰减轴系中扭转振动的传递，同时也起到了轴系间的耦合作用.Sun等[7]提出了一种多方向QZS剪刀形结构，并与已有的QZS隔振器进行了隔振效果对比.

为了提高QZS隔振器的低频隔振性能，本文采用了一种X型结构并将其应用于QZS型隔振器的设计中.首先，应用静力学和泰勒公式得到了弹簧的刚度特性曲线，得出了准零刚度产生的条件.其次，通过对X型结构的受力分析建立了系统的动力学方程，利用增量谐波平衡法(incremental harmonic balance method，IHBM)对非线性常微分方程进行半解析求解，并通过Runge-Kutta法对比验证了解的一致性.最后，对系统的幅频响应、力传递率及位移传递率特性进行了分析及参数讨论.结果表明：本系统具有良好的隔振性能，可为结构振动的被动控制提供一种新的解决方案.

1 QZS系统及建模

如图1所示，QZS隔振器主要由两个竖直弹簧和两个X型结构的调节器组成.X型结构的调节器由支架、连杆、铰链轴和水平弹簧组成.所有连杆的长度均为L，水平弹簧的两端与铰链轴连接，竖直弹簧两端经支架与加载支架和基座连接，在垂直导杆的作用下，加载支架只能沿垂直方向移动.水平弹簧的弹性系数为Kh，竖直弹簧的弹性系数为Kv/2，线性阻尼器的阻尼系数为C.加载支架上放置质量为m的质量块.

在质量块重力作用下，整个系统处于静平衡状态，所有连杆重叠并且是处于水平状态，质量块的位移为

Δx=mg/Kv.

(1)

为了提供负刚度，两个刚度系数都为Kh的水平弹簧预先压缩的长度为d，水平弹簧的弹性恢复力经连杆和支架传递到加载支架上，与竖直弹簧所产生的弹性恢复力方向相反.因此隔振器处于静平衡状态时，当负刚度与正刚度相等时，系统实现了准零刚度特性.

首先分析弹性恢复力，当上支架受到外力f作用时，加载支架会偏离静平衡位置并产生位移x，此时，QZS系统的结构模型如图1所示.

如图2所示，所施加的力与位移的关系为

f(x)=fv+mg-ft.

(2)

(3)

对式(3)无量纲化处理，得到

(4)

其中:h=f/(KvL);u=x/L；β=Kh/Kv;δ=d/L.

QZS系统的无量纲刚度为式(4)对u的微分

(5)

令k(u=0)=0，则准零刚度产生的条件为

(6)

将式(6)代入式(4)得到

(7)

(8)

对于不同无量纲预压缩长度δqzs，随着加载支架位移的变化，无量纲刚度曲线见图3.

从图3可以观察到，当δqzs<2，QZS系统的刚度都为正刚度，并且随着δqzs的增大，刚度曲线趋于平缓.当δqzs=2时，QZS系统的刚度恒为零，这表明隔振系统失去承载能力.如果δqzs>2，刚度为负值，在实际工程中是不允许发生的.因此，δqzs的合理区间是(0, 2).

将式(4)在u=0处展开为四阶泰勒级数，即

(9)

将准零刚度条件即式(6)代入到式(9)中，得到hqzs(u)=γu3，其中定义γ为等同约化刚度，其值可以通过改变水平弹簧与竖直弹簧的刚度比来进行调节，γ的具体表达式为

(10)

原始刚度表达式(7)和其泰勒展开式(9)的对比如图4所示.可以观察到泰勒展开式结果与原始表达式结果吻合良好，因此，本文采用四阶泰勒级数展开是合理的.

典型QZS隔振器和本文设计的X型隔振器都具有准零刚度特性，图5为这两种隔振器的无量纲刚度对比情况，图中两条曲线都是在水平弹簧与竖直弹簧的刚度系数之比为1的情况下计算得到的.可以看出本文设计的X型QZS隔振器相比于典型QZS隔振器具有更小的无量纲刚度k，特别是当u在区间(-1,-0.5)和(0.5,1)时，两者的k值差异更为明显.较小的系统刚度意味着系统的共振频率较低[1]，因此本文设计的X型隔振器可以有效地提高其低频隔振性能.

2 力传递率

2.1 幅频响应

简谐力作用下系统的运动方程为

(11)

其中，Fe和ω分别表示外部激励的幅值和频率，引入无量纲参数，并将已知表达式代入式(11)得到

(12)

增量谐波平衡法(IHB)具有移植性强、改变参数灵活的许多优点，下面将应用IHB法求解系统的动力学方程.

首先，对方程(12)进行时间尺度变换，即令t*=Ωτ，式(12)关于新的时间变量t*的微分方程为

(13)

其次为Newton-Raphson增量步骤，设u0和Ω0是方程(12)的解，则其相邻位置的解可以用增量表示为

u=u0+Δu，Ω=Ω0+ΔΩ.

(14)

将式(14)代入式(13)并省略去高阶小量，整理增量方程为

(15)

式中，Re表示不平衡力，

(16)

当Re=0时，求得u0和Ω0的精确解.

最后为谐波平衡过程，设方程(13)的周期解u为

u=UA0.

(17)

式中,U=[1,cost*,…,cosit*,sint*,…,sinit*];

A0=[a0,a1,…,ai,b1,…,bi]T;

(18)

Δu=UΔA;

(19)

ΔA=[Δa0,Δa1,…,Δai,Δb1,…,Δbi]T.

(20)

将式(17)～式(20)代入式(15)，并对式(15)在一个周期2π内进行Galerkin积分：

(21)

由式(21)可以得到以ΔA和ΔΩ为未知量的线性迭代方程为

KΔA=R+RmΔΩ.

(22)

式中：

为了验证增量谐波平衡法的有效性，进行了基于Runge-Kutta的数值模拟，两种方法得到的结果如图6所示.可以看出，解析解与数值解吻合较好，这表明IHB法对于本文所研究的问题是有效且可靠的.需要注意的是，Runge-Kutta法无法得到不稳定解.此外，本文在求解系统的幅频曲线时还进一步结合了弧长法[8]，由此可以获得复杂完整的响应曲线，从幅频曲线中还可以观察到系统鞍点分岔引起的跳跃现象[9].

2.2 力传递率

力的传递率[10]是评估隔振器好坏的一个重要指标.本系统的传递力表达式为

(23)

传递力的幅值可通过IHB求得的解(即u)代入式(23)求出

(24)

因此，本系统的力传递率可写成为

Tf=10lg(Ft/fe) .

(25)

对于不同γ值，系统的力传递率如图7所示.从图中可以观察到，在主共振区时，等同约化刚度γ值的增大可以有效地减小力传递率，而在较高的激励频率下，等同约化刚度γ值的变化对系统隔振性能的影响不大.

3 位移传递率

3.1 幅频响应

在分析系统的位移传递率时，应去掉加载支架的外激励，这时应施加位移激励z=Zecos(ωt)并且加载到基座上，见图1，加载支架的位移是x，加载支架的相对运动方程为

(26)

其中:y=x-z;Ze表示基座激励的幅值.

对式(26)进行无量纲化，并且采用前述的无量纲参数，得到

(27)

其中：η=y/L;ze=Ze/L.

应用与2.1小节相同的分析过程，得到加载支架的幅频曲线，如图8所示，所采用的参数为γ=0.065，ζ=0.022 5，ze=0.2.从图中可以看出，由于非线性刚度的存在，使得曲线有向右弯的现象，这也说明本系统具有硬式非线性特性.

3.2 位移传递率

位移传递率的定义为传递到加载支架的位移与基座位移幅值的比率，即

Td=10lg(A/ze).

(28)

对于不同的γ值，本系统的位移传递率Td如图8所示.从图中可以观察到：随着等同约化刚度γ值减小，在共振区，系统的位移传递率急剧减小，而在较高的激励频率下位移传递率不受影响.此外，等同约化刚度γ值的减小可以引起共振频率的减小，并且使得跳跃现象(不稳定解)消失.

4 结 论

1) 通过对系统的整体刚度分析，得出了准零刚度产生的条件，即无量纲预压缩长度与无量纲刚度比的乘积为1.结果表明：无量纲预压缩长度δqzs的合理区间为(0，2)，并定义了一个可以有效反映系统低频隔振效果的重要参数，即等同约化刚度γ.与典型QZS隔振器相比，本文设计的X型QZS隔振器具有更好的低频隔振性能.

2) 讨论了不同γ值对力传递率的影响，等同约化刚度γ值的增大可以显著地减小力传递率，而在较高的激励频率下，等同约化刚度γ值的变化对系统隔振性能的影响较弱.

3) 讨论了不同γ值对位移传递率的影响.随着等同约化刚度γ值的减小，共振区的位移传递率急剧减小，而在较高的激励频率下的位移传递率不受其影响.此外，等同约化刚度γ值的减小可以引起共振频率的减小，并且使得跳跃现象(不稳定解)消失.