柔性空间机械臂的自适应H∞容错抑振混合控制

雷荣华, 陈 力

(福州大学机械工程及自动化学院，福州 350116)

0 引 言

空间机械臂可以完成出舱采样、失效卫星捕获、航天器在轨燃油充注及精细维修等一系列高风险的空间任务[1-2]。因此，空间机械臂的动力学、运动学及控制技术已成为当今世界各航天大国关注的焦点。随着我国探月工程的启动与载人航天工程的深化实施，空间机械臂将在未来的空间操纵领域发挥更大的作用[3-5]。需要指出的是，空间机械臂在地面重力、压强与温度环境下装调完毕，各部件都能正常运行，然而一旦进入微重力、零压强、大温差与强辐射的真空环境中，机械臂及其附件的力学性能会发生较大的变化，从而导致执行器与传感器发生未知因素的部分失效故障。其中，执行器由于长期频繁地执行控制指令，其失效几率更大。值得一提的是，空间操纵的一项重要任务就是利用机械臂末端抓手捕获慢旋或翻滚的非合作目标卫星，并在短时间内消除抓手与目标卫星之间的径向相对角速度，实现两者的同步运动，从而达到消旋的目的；这类任务通常对机械臂的运动控制精度要求极高[6-7]。考虑到执行器作为整个控制系统的核心部件，因此研究其部分失效故障的容错控制尤为重要。需要指出的是，空间机械臂的载体是自由漂浮的在轨航天器，整个系统满足非完整动力学约束条件[8-9]，机械臂的运动会对载体的姿态造成干扰；因此，与基座固定的工业机械臂相比，空间机械臂的算法设计更为棘手。相关学者虽然针对不同工况下(例如建模不确定性、外部扰动及通讯时延等)空间机械臂的轨迹规划提出过一些控制算法[10-13]，但是这些算法中并未涉及执行器故障的容错控制研究。

当前，针对一般非线性系统执行器故障容错控制的研究成果较为丰富[14-21]，这些成果对于空间机械臂的容错算法设计具有参考意义。针对一类交联非线性系统，文献[14]提出了一种基于分散故障观测器的容错控制策略。针对一类存在执行器故障的非线性系统，文献[15]利用分析冗余的概念，引入了一种无迹卡尔曼滤波器对故障进行检测，然后据此设计了一个模型预测控制器。针对一类存在执行器故障的不确定非线性系统，文献[17]制定了一种比例积分(PI)模糊观测器对突变型执行器故障信号进行重构，然后设计了一个基于线性矩阵不等式(LMI)的容错控制器。针对存在状态约束与执行器故障的一类仿射非线性系统，文献[18]引入了一种自适应神经网络观测器对故障进行了识别，最后采用积分滑模策略实现了容错控制。针对执行器故障与传感器故障并发的一类随机非线性系统，文献[19]提出了一种广义模糊滑模观测器对此两类故障进行重构与补偿。针对一类存在时滞扰动与执行器故障的Lipschitz非线性系统，文献[20]设计了一种基于边界估计的鲁棒自适应容错算法。然而，以上容错控制策略均需要利用观测器或滤波器对执行器故障进行在线估计和诊断，且为了精确地识别具体的故障信息而设计了较多的自适应参数，进而加重了星载计算机的计算负荷；其中文献[16,21]的故障观测器还存在由于初始观测误差过大而导致观测误差不收敛的弊端。

值得注意的是，出于发射成本及预期任务要求的考虑，空间机械臂通常需要满足质轻、负载大与工作范围广的要求。虽然臂杆强度较高，可以承受质量及惯量较大的目标卫星；但由于臂杆所固有的细长结构特性，导致其抗弯刚度偏低。因此，当空间机械臂在对此类大型负载进行抓捕及后续一体化操纵时极易诱发臂杆的轴向变形和弹性振动，从而严重影响机械臂的运动稳定性。同时，机械臂由于自身振动产生的冲击能量亦会损伤其附件，以及造成仪器的安装偏差。

鉴于以上研究现状，为了实现柔性空间机械臂的高精度与高稳定度控制，本文针对存在部分失效(Partial loss of control effectiveness,PLCE)型执行器故障的柔性空间机械臂系统，提出了一种自适应H∞容错抑振混合控制算法。根据奇异摄动原理对系统进行降维，并将其分解为一个刻画刚性臂杆轨迹跟踪的慢变子系统与一个刻画柔性臂杆模态振动的快变子系统；由此设计了由慢变子系统的自适应H∞容错控制器与快变子系统的线性最优减振控制器组成混合控制器。该混合容错控制器具有无需模型及故障检测、更新参数少的优点。

1 动力学模型及奇异摄动分解

1.1 动力学建模

做平面运动的一类柔性空间机械臂系统的结构如图1所示，系统不受外部力或力矩作用而处于自由漂浮状态。其中，B0为载体基座(航天器本体)，B1为均质刚性臂杆，B2为均质柔性臂杆；OXY为惯性坐标系，Oixiyi为分体Bi(i=0,1,2)的局部坐标系；原点O0与载体质心Oc0重合，Oc1为刚性臂B1的质心；Oi(i=1,2)为连接Bj-1与Bj的转动铰中心；v(x′2,t)为柔性臂杆B2在t时刻、沿x2轴方向坐标为x′2(0≤x′2≤l2)处(P点)的法向弹性位移；θ0为载体姿态角位移,θi(i=1,2)为臂杆Bi的关节角位移；转动中心O1与O0之间的距离为l0，Bi(i=1,2)沿xi轴的长度为lj；分体Bi的质量与中心转动惯量分别为mi与Ji(i=0,1)；柔性臂杆B2单位长度的线密度为ρ，截面抗弯刚度为EI；空间机械臂的总质量为M=m0+m1+ρl2。

图1 漂浮基柔性空间机械臂系统Fig.1 Free-floating flexible-arm space manipulator system

考虑到柔性杆B2为均质细长杆，即其轴向长度远大于其截面半径，故其在运动过程中难免会发生弯曲变形并引发柔性振动。由于其一端处于约束状态而另一端自由，故可将其视为一段Euler-Bernoulli悬臂梁。根据假设模态法[22]可知，柔性臂杆B2的法向弹性位移v(x′2,t)可用以下的截断模态方程描述

(1)

式中：φi(x′2)为第i阶模态函数，δi(t)为第i阶模态坐标，n为模态保留数。

由于柔性梁的变形主要由前两阶模态振型体现[23]，本文取n=2，即v(x′2,t)=φ1(x′2)δ1(t)+φ2(x′2)δ2(t)。第i阶模态函数为[23]

φi(x′2)=Ai[cos (cix′2)-cosh(cix′2)]+

[sin(cix′2)-sinh(cix′2)]

(2)

式中：Ai=-(sin (cil2)+sinh(cil2))/(cos(cil2)+cosh(cil2)),ci为第i阶模态函数的等效特征频率。

柔性空间机械臂系统的动能T为

(3)

忽略太空中的低微重力，柔性臂杆的弹性势能U即为系统的总势能

(4)

根据拉格朗日第二类方程，可以推导出漂浮基柔性空间机械臂系统的动力学微分方程为

(5)

1.2 系统的奇异摄动分解

定义漂浮基柔性空间机械臂系统的关节广义坐标为qr=[θ1,θ2]T，柔性广义坐标为qδ=[δ1,δ2]T，则式(5)可写为分块矩阵的形式

(6)

由于惯性矩阵D为正定矩阵，故其逆矩阵存在且不妨定义为

(7)

将矩阵N左乘式(7)，并定义M=NH，可得

(8)

(9)

(10)

假设抗弯刚度对角矩阵Kδ中较小元素为kmin，定义奇异摄动因子为ε=(1/kmin)1/2。由此可定义新的状态变量ξδ与Kε(ε2ξδ=qδ,Kε=ε2Kδ)，并将其代入式(9)与式(10),有

(11)

(12)

为了导出柔性空间机械臂的慢变子系统动力学微分方程，令ε=0，则式(11)与式(12)变为

(13)

(14)

由式(14)可解算出

(15)

结合式(15)与式(13)，可得慢变子系统的动力学模型为

(16)

式中:

(17)

令ε=0,式(17)经整理后，可得快变子系统的动力学模型为

(18)

由慢变子系统模型(16)与快变子系统模型(18)组成的柔性空间机械臂系统的奇异摄动模型，是后续混合控制器设计的基础。

2 慢变子系统的容错控制器设计

2.1 慢变子系统的动力学分散

为了实现对某一机械臂轨迹跟踪运动的单独控制，根据分散原理[25]，可将此慢变子系统(16)作进一步分解，得到如下两个耦合交联的二阶子系统

(19)

(20)

当关节执行器发生PLCE型故障时，第i个二阶子系统可表示为

(21)

式中：ρi∈(0,1]为关节执行器的有效因子，其值越小表示执行器失效程度越高；其中，ρi=0表示第i个执行器彻底失效，子系统失去控制输入；ρi=1表示执行器无故障的正常工作；ρi∈(0,1)表示执行器发生PLCE型故障。

(22)

式中:

本节的控制目标是针对存在PLCE型关节执行器故障的二阶子系统(21)，设计一种自适应容错控制算法，确保机械臂关节能抵达各自的期望轨迹。

2.2 二阶子系统的容错控制器设计

(23)

式中:gi0为正常数。

设计虚拟控制输入

(24)

定义矩阵Pi为如下Riccati方程的解

(25)

(26)

容错控制器(Fault tolerant control, FTC)设计为

(27)

(28)

(29)

式中:ηiτ与ηiδ为正常数。

定义此二阶子系统的理想控制输入为

(30)

将式(27)代入式(23)，可得此二阶子系统的动态误差方程为

(31)

定义理想权值向量为

(32)

定义理想控制输入的最小神经网络逼近误差为

(33)

(34)

2.3 稳定性分析

定理1.对于存在PLCE型关节执行器故障的二阶子系统(21)，若假设1～3成立，设计式(28)和式(29)的自适应更新律，则容错控制器(27)可保证整个慢变子系统(16)稳定且满足H∞跟踪性能。

证. 选择Lyapunov函数为

(35)

将式(35)对时间求导，可得

(36)

将式(34)代入式(36)，得

(37)

结合式(28)与式(37)，可得

(38)

(39)

综合式(38)与式(39)，可得

(40)

将式(29)代入式(40)，可得

(41)

将Riccati方程(25)代入式(41)，得

(42)

定义Q=diag(Q1,Q2)，ε=[ε1,ε2]T，则式(42)可重写为

(43)

定义λmin(Q)为Q的最小特征值，则有

(44)

对式(43)从t=0到t=T′求积分，可得

(45)

由式(45)可知，整个慢变子系统(16)满足H∞跟踪性能；且选择较大的Q及较小的μi，可使跟踪误差收敛至较小的范围。

由于容错控制器(27)不含任何惯性参数及执行器有效因子，而仅含系统当前的状态信息。因此，该容错控制器具有无需模型和无需获取关节执行器故障先验知识的优点，利于工程实现；此外，与传统的容错算法相比，该控制器自适应更新参数少，可以提升星载计算机的计算效率。

3 快变子系统的线性最优减振控制器设计

由于整个快变子系统(18)是一个可控线性系统，故可采用最优控制策略来对振荡模态进行抑制。选取性能指标泛函为

(46)

式中：Rδ∈R2×2与Qδ∈R4×4为对称正定矩阵，分别表示控制变量τδ与状态变量ζ的性能量度权重。

当快变子系统(18)受扰偏离平衡状态(ζ(t)=0)时，通过控制变量τδ使状态变量ζ(t)恢复到平衡状态(或其小邻域)，并使性能指标Jf极小，即快变子系统在整个控制过程中的动态跟踪误差(eδ=qδ-0=qδ)及控制能量损耗达到综合最优，以期获得最优轨线ζ*。要实现此控制目标，可将快变子系统的控制变量(线性最优减振控制器)设计为[26]

(47)

式中：矩阵Pδ为以下Ricatti方程的解

(48)

将式(47)代入快变子系统(18)，可得最优闭环系统方程

(49)

由于时变矩阵Aδ(t)、Bδ(t)及Rδ(t)已知，故此闭环系统的性质取决于Riccati方程式(48)的解Pδ(t)。

由慢变子系统(16)的自适应H∞容错控制器(27)和快变子系统(18)的线性最优减振控制器(47)组成的混合控制器，可实现PLCE型执行器故障下的柔性空间机械臂系统的奇异摄动容错、减振双重控制。

4 仿真校验

为了校验本文提出的FTC混合控制律的有效性，对图1所示的两关节柔性空间机械臂系统进行数值仿真，并将仿真结果与文献[27]提出的滑膜控制(Sliding mode control,SMC)混合控制律进行对比(两种混合控制律的区别仅在于慢变子系统控制器的不同)。为了便于表述，定义FTC混合控制律与SMC混合控制律分别为FTC算法与SMC算法。

慢变子系统的SMC控制器的表达式为

(50)

柔性空间机械臂系统的物理结构参数为：m0=80 kg，m1=6 kg，柔性臂杆B2单位长度下的线密度为ρ=2 kg/m3，l0=1.5 m，l1=l2=3 m，J0=60 kg·m2，J1=2 kg·m2，EI=80 N·m2。

(51)

臂杆关节的期望运动轨迹为θ1d=0.5 rad，θ2d=0.8 rad。系统的初始状态值为：qr(0)=[0.2,0.3,1.02]T(rad)，qδ(0)=[0, 0]T(m)。

4.1 正常模式

此时，漂浮基柔性空间机械臂系统的关节执行器正常工作，即有效因子ρ1=ρ2=1。仿真结果如图2～4所示。其中，图2为本文提出FTC算法作用下载体姿态角位移；图3为两种算法的轨迹跟踪性能对比;图4为两种算法的抑振性能对比。

图2 载体姿态角位移Fig.2 Angular displacement of the base attitude

图3 两种算法的轨迹跟踪性能对比Fig.3 Comparison of trajectory tracking performance of the two algorithms

图4 两种算法的抑振性能对比Fig.4 Comparison of vibration suppression performance of the two algorithms

由图3可知，在正常模式下，两种算法均可保臂杆关节稳定地抵达指定轨迹；由图4可知，在此模式下，两种算法都能消除柔性臂杆的振动模态；其中SMC算法对于柔性杆一阶振动模态的抑振精度为2×10-4m，高于本文提出的FTC算法的4×10-3m。

4.2 故障模式

4.2.1算例1

假设柔性空间机械臂系统的所有关节执行器均发生PLCE型执行器故障，关节1与关节2的执行器分别失去38%、40%的控制效率，即有效因子为ρ1=0.62，ρ2=0.6。仿真结果如图5～7所示。其中，图5为本文提出FTC算法作用下载体姿态角位移；图6为两种算法的轨迹跟踪性能对比;图7为两种算法的抑振性能对比。

图5 载体姿态角位移Fig.5 Angular displacement of the base attitude

由图6可知，在本算例设计的故障模式下，本文提出的FTC算法仍可确保关节输出对期望轨迹的稳定跟踪控制；由于SMC算法对PLCE型关节执行器故障不具备容错能力，故关节的轨迹跟踪误差无法收敛。由图7可知，在此算例下，FTC算法仍可将柔性臂杆的振动模态抑制在较低水平，且对于柔性杆一阶振动模态的抑振精度为4×10-3m，与正常模式的精度持平；而在SMC算法作用下，柔性臂杆的前两阶模态会持续震荡，且对于一阶振动模态抑振精度下降至2×10-2m；虽然两种算法具备相同参数快变减振控制器，但FTC算法是在容错和确保臂杆轨迹跟踪的基础上进行减振控制的，故其减振效果优于SMC算法。

4.2.2算例2

此时，关节1与关节2的执行器分别失去65%、58%的控制效率，即有效因子为ρ1=0.35,ρ2=0.42。由此可知，与故障情形下的算例1相比，算例2关节执行器的失效情况更为严重，控制效率损失率均高于50%。仿真结果如图8～10所示。其中，图8为本文提出FTC算法作用下载体姿态角位移；图9为两种算法的轨迹跟踪性能对比;图10为两种算法的抑振性能对比。

图8 载体姿态角位移Fig.8 Angular displacement of the base attitude

图9 两种算法的轨迹跟踪性能对比Fig.9 Comparison of trajectory tracking performance of the two algorithms

图10 两种算法的抑振性能对比Fig.10 Comparison of vibration suppression performance of the two algorithms

由图9可知，当系统关节执行器发生比算例1更为严重的PLCE故障时，本文提出的FTC算法仍可确保关节输出对期望轨迹的稳定跟踪控制；由于SMC算法缺乏对PLCE型执行器故障的补偿能力，故与算例一相比，关节的轨迹跟踪误差进一步加大。由图10可知，在此算例下，FTC算法仍可将柔性臂杆的振动模态进行有效抑制，且对于柔性杆一阶振动模态的抑振精度依旧为4×10-3m，与正常模式及算例1的精度持平；而在SMC算法作用下，柔性臂杆前两阶模态的持续震荡会更为明显，且对于一阶振动模态抑振精度进一步下降至4×10-2m。

通过与对比算法在多组典型工况下的仿真计算及对结果的定量分析可知，本文提出的FTC算法对于关节执行器故障具备很强的鲁棒性，能够确保漂浮基柔性空间机械臂系统在各类PLCE执行器故障下关节轨迹的稳定跟踪控制及柔性杆振动模态的有效抑制。

5 结 论

针对存在PLCE型关节执行器故障的漂浮基柔性空间机械臂系统，提出了一种自适应H∞容错抑振混合控制算法。根据奇异摄动原理对系统进行降维，并将其分解为一个刻画刚性臂杆轨迹跟踪的慢变子系统与一个刻画柔性臂杆模态振动的快变子系统；由此设计了由慢变子系统的自适应H∞容错控制器与快变子系统的线性最优减振控制器组成混合控制器。其中，容错控制器具有无需模型和无需预知具体的关节执行器故障信息的特点，且自适应更新参数少；线性最优减振控制器可使快变子系统的动态跟踪误差及控制能量损耗满足综合最优指标。因而该混合控制策略是符合工程实际需求的。

通过与对比算法在多组代表性工况下的仿真结果表明：慢变子系统的容错控制器可以有效地抵御PLCE型执行器故障对系统轨迹跟踪性能的影响，快变子系统的线性最优减振控制器能够将柔性臂杆的振动模态调节至较低水平，所设计的容错抑制混合控制器对关节执行器故障具备很强的鲁棒性。仿真结果与理论分析相吻合，从而校验了理论分析的正确性与混合控制策略的有效性。