环电流矢势的数值积分和数值旋度的计算和可视化

周群益，莫云飞，侯兆阳，周丽丽

(1.广东技术师范大学 天河学院，广东 广州 510540；2.长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022；3.长安大学 理学院应用物理系，陕西 西安 710064；4.赣南医学院 信息工程学院，江西 赣州 341000)

环电流的磁场是电磁场理论中的一个典型问题，许多教材都有介绍。有的文献利用矢势推导磁感应强度公式[1]，有的文献根据毕奥-萨伐尔定律推导磁感应强度公式[2]。这些公式都是在柱坐标系中建立的，显示了磁场的分布规律。不过，文献缺少磁感应强度分量的分布曲面，更没有磁感应线。本文推导出柱坐标系和直角坐标系中的矢势的积分式和解析式，利用数值积分计算的绘制矢势的分布曲面，并与解析式的曲面进行比较。利用旋度公式推导了柱坐标系中的磁感应强度分量的导数表达式，进而推导出直角坐标系中的磁感应强度分量的积分式和解析式。利用数值导数计算和绘制了磁感应强度分量的分布曲面，并与解析解的曲面进行比较。本文还绘制了三维磁感应线，充分展示了环电流的磁场分布规律。

1 环电流的矢势

设圆环的半径为a，电流强度为I。如图1所示，在柱坐标系Oρφz中，设场点P在Oxz平面的上，环电流到点P的距离为

图2 环电流矢势的分布面

如图2所示，矢势曲面具有关于x轴的奇对称性和关于z轴的偶对称性。在x=0的轴线上，矢势Aφ=0；当z=0而|x|→a时，Aφ→+∞，这是因为两个场点都是圆环所在处，矢势不存在。矢势的数值积分与解析解完全重合，说明两个公式都是正确的。数值积分需要较大的计算机内存，计算时间也比较长，而解析解的效率高很多。

2 环电流的磁感应强度

(1)如图3所示，磁感应强度分量Bx的数值旋度与解析解的曲面基本重合，说明两种结果都是正确的。误差是由于数值导数产生的，减少数值间隔可以减小误差。Bx的数值积分曲面与解析解的曲面完全重合(图略)。

图3 环电流磁场分量Bx的分布面

图4 环电流磁场分量B z的分布面

图5 环电流的三维磁感应线

(2)如图4所示，磁感应强度分量Bz的数值旋度与解析解的曲面基本重合，说明两种结果都是正确的。Bz的数值积分曲面与解析解的曲面完全重合(图略)。

(3)环电流的三维磁感应线如图5所示，磁感应线是闭合的，都环绕着环电流；在y=0平面上是二维磁感应线。

3 结束语

本文具有一些独特之处。用数值积分解决了环电流矢势的计算和可视化问题，用数值导数解决了环电流磁场的计算和可视化问题，同时还解决了磁感应线的绘制问题。作者设计了全部计算和可视化程序，感兴趣读者可与作者联系。本文的方法还可用于解决通电螺线管的磁感应强度分布问题以及磁感应线的分布问题。