存在执行器饱和的多智能体系统一致性问题

关 威，边天奇，任 艳

(沈阳航空航天大学自动化学院，沈阳 110136)

近年来，随着控制理论的快速发展，人们对单个系统的控制研究越来越成熟，自适应控制、神经网络技术、事件触发控制技术、切换控制技术以及最优控制等许多高效先进的控制技术越来越成熟。但是近20年来，人工智能技术、计算机科学和控制算法等高科技飞速发展，人们对多智能体系统的研究越来越重视，相对于单系统，多智能体系统在目标维度比较高且比较复杂时，其优势就逐渐得以体现，其应用也非常广泛，多智能体系统在无人机编队、高空卫星编队技术及移动智能汽车群体控制等方面都有不可或缺的重要性。

多智能体系统中的核心问题之一就是一致性问题。上世纪七十年代Degroot等人首次提出一致性的定义[1]，并应用在管理统计领域。在科学高速发展的今天，人们将一致性应用到对智能体系统的研究中，2004年OlfatiSaber等人正式提出了多智能体系统一致性问题的理论框架，所谓的一致性就是要求多智能体系统中每一个跟随者都达到跟领航者相同的状态。基于一致性问题的研究，人们对多智能体系统有了更深入的研究，文献[2]给出了多智能体系统在一阶积分环节中和固定拓扑结构下达到一致性的条件；文献[3]针对各个系统之间信息交换时存在的时延和丢包问题，给出了一致性协调控制算法;文献[4]提出了通过非线性控制协议的方法来解决有限时间一致性问题，从而加快系统的收敛速度；文献[5]利用当今比较热门的神经网络技术解决了存在非线性因素和未知扰动的多智能体系统一致性问题。

在一个已经达到稳定的系统中执行器有时会发生饱和现象。对于一个原本已经稳定的系统，当执行器发生饱和现象时，其稳定性将被打破，如果在多智能体系统中执行器发生饱和现象，那么多智能体系统是否能够达到一致性将成为一个问题。针对执行器发生的饱和现象，文献[6]提出了在执行器饱和条件下的系统吸引域估计问题，基于这一理论知识，本文将其推广到多智能体系统中，研究多智能体系统的饱和问题。在控制器的设计过程中，考虑到跟随者的状态信息很难得到，所以本文根据每一个跟随者的相对输出信息进行设计，并运用线性不等式技术，来解决执行器饱和下的多智能体系统一致性问题。

1 问题描述及预备知识

1.1 问题描述

考虑多智能体系统由1个领航者和N个跟随者组成，考虑领航者的控制输入为0，其中领航者的状态方程为

y0(t)=Cx0(t)

(1)

跟随者的动态方程为

yi(t)=Cxi(t)

(2)

式中，x0∈Rn，y0∈Rp代表领航者的状态向量和输出向量；xi∈Rn，yi∈Rp,σ(ui(t))∈Rm(i=1,…,N),分别代表每一个跟随者的状态向量、输出向量和带饱和的控制输入。A,B,C为具有适当的数的矩阵。

1.2 预备知识

Kronecker积的性质如下：

(1)(αA)⊗B=A⊗(αA), 其中α为常数；

(2)(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C;

(3)(A⊗B)(C⊗D)=(AC⊗BC)；

(4)(A⊗B)T=AT⊗BT。

假设1：领航者的信息可以被至少一个跟随者获取，而领航者无法获取跟随者的信息,也即图G包含一个生成树，且领航者是其中的根节点;另一方面,假设G是无向连通图。

引理1[7]：满足假设1的图G对应的拉普拉斯矩阵L可以分解为

(3)

其中L2∈R(N-1)×1，L1∈R(N-1)×(N-1)，且矩阵L1是正定矩阵，同时存在一个正交阵U，满足UTL1U=diadλ1,…,λN,其中0≤λ1,≤…,≤λN为矩阵L1的特征值。

定义1：执行器饱和的非线性以如下形式给出

(4)

(5)

引理3：对于有适当维数的矩阵X,Y和任意的实数μ>0,有式(6)成立

xTY+YTX≤μ-XTX+μYTY

(6)

定义2：定义XR为一个有界凸集XR=∈(R,1)={x∈Rn×n:xTRx≤1},R>0orXR=cox1,…,xL。对于一个集合S∈Rn,αR(S)=supα>0:αXR⊂S。

(1)S<0；

定义3：对于矩阵Ccl∈Rn×n,标记矩阵Ccl的第k行为Cclk，定义

g(Ccl)={x∈Rn:|Cclk|≤1,k∈I[1,L]}

(7)

定义4：椭球集合：P∈Rn×n为一正定矩阵，标记

ε(P,p)={x∈Rn:xTPx≤p}

(8)

令V(x)=xTPx。如果对于所有的x∈(Pp){0},有那么椭球ε(P,p)为压缩不变集。显然如果ε(P,p)为压缩不变集，那么其必在吸引区域内。

2 主要结论

(9)

其中KC=BTP

将(9)式代入(2)式可得

(10)

定义新变量ξi(t)=xi(t)-x0(t),i=1,…,N,并记ξ0=0，所以由(1)和(10)可得

(11)

定义ξ=[ξ1,…,ξN]。

由图论的知识和Kronecker积的性质

(12)

利用引理2式(12)可以写成

(13)

可以看出，如果式(13)是渐进稳定的，那么多智能体系统就是渐进稳定的，多智能体系统也能够达到一致。

定理5：如果满足KC=BTP，给定一个椭球ε(P,p)，P∈Rn×n，如果对于所有的DD∈D与ε(P,p)⊂g(H)，存在矩阵H∈Rn×n满足

(14)

那么集合ε(P,p)为一个压缩不变集，原多智能体系统可以实现一致性。

证明：考虑如下Lyapunov函数

V=ξT(L1⊗P)ξ

(15)

则

(16)

由引理3有

(L1⊗PB)DD(L1⊗BTP)

(17)

综合式(17)可得

(18)

由引理4可得多智能体系统一致性条件(14)转化为

(19)

通过式(19)，我们可以得到无数个满足条件的椭球，所以如何从这些椭球中选出最大的成为一个非常有趣的问题，这一问题可以用如下最优化过程来解决

maxα

s.t.(a)αXR⊂ε(L1⊗P,p)

(b)(9)

(c)ε(L1⊗P,p)⊂g(H)

若参考集xR是椭球，那么限制条件(a)等价于

(20)

限制条件(c)等价于

(21)

所以优化条件转化为

maxα

(b)(9)

(22)

以上可以用LMI进行求解。

3 数值仿真

考虑式(1)和式(2)描述的多智能体系统，由1个领航者和4个跟随者组成。参数分别为

μ1=1,μ2=2,多智能体系统的拓扑结构如图(1)所示。

图1 多智能体系统的拓扑结构

由拓扑结构可知只有跟随者1能够获得领导者的信息，则对应的L1矩阵为

然后利用Matlab进行数据仿真，选定领航者的初始值为(8,8),图2和图3分别是多智能体系统第一状态和第二状态下领航者和跟随者的状态差曲线。其中实线代表领航者的状态曲线，虚线代表跟随者的状态曲线。分析仿真图像可知，在执行器存在饱和的情况下，通过设计合适的控制器，多智能体系统能够达到一致性。

图2 第一个状态下领航者和跟随者的状态差曲线

图3 第二个状态下领航者和跟随者的状态差曲线

4 结论

本文研究了执行器饱和下的多智能体系统的一致性问题，为了解决多智能体系统执行器饱和的问题，首先设计合适的控制器，然后通过分析每一个跟随者和领航者之间的状态差所构成的新的闭环系统，再通过吸引区域的优化，给出在执行器饱和下多智能体系统实现一致性的条件，最后通过运用Matlab进行数据仿真,验证了结果的正确性,从而实现了在执行器饱和的情况下多智能体系统的一致性。