高中数学函数零点问题探索与研究

摘 要：在高考中，高中数学函数零点问题常常出现，解决函数零点问题一般要利用方程思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等思想方法，体现思维的灵活性。本文通过一些范例来探讨高中数学常见的函数零点问题类型，以期抛砖引玉。

关键词：高中数学;函数零点;思想方法

函数零点是高中数学的重要知识点，是众多数学知识的联结点，能够将函数与方程、数与形有机结合在一起。在函数零点教学过程中，教师要利用学生的主体地位，引导学生去发现问题，根据题意分析问题，运用恰当的数学思想方法去解决问题。

一、 求函数零点的值

求函数零点的值，可以根据函数零点的定义，转化为求解方程，方程的根即为所求函数的零点。

【例1】 已知f（x）=x3-3x2-4x，求函数f（x）的零点。

解：令x3-3x2-4x=0，即x（x-4）（x+1）=0，解得：x=0，x=4，x=-1。

故函数f（x）的零点为0，-1，4。

二、 判断函数零点的范围

这类问题，常常要利用函数零点的存在性定理、数形结合等方法来解决。

【例2】 已知函数f（x）=2x-lnx（x>0）的零点所在的大致区间是（）

A. （4，+∞）B. （2，3）

C. （2，3）和（3，4）D. （1，2）

解析：∵f（2）=1-ln2>0，f（3）=23-ln3<0，所以 f（2）·f（3）<0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在区间（2，3）内存在零点，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴f（x）在区间（2，3）内有且只有一个零点，故选B。

【例3】 已知函数f（x）=x-x（x>0）的零点为x1，g（x）=x+ex的零点为x2，h（x）=x+lnx的零点为x3，则（）

A. x1

C. x2

解析：画出函数y1=x，y2=-ex，y3=-lnx和直线y=x的图像，如图所示，x1=1，x2<0，0

三、 求函数零点的个数

这类问题的解决方法主要有三个：一是先求出零点，然后看零点有多少个;二是利用零点存在性定理，同时结合函数的单调性来确定零点个数;三是恰当构造函数，把求零点个数问题转化为求函数图像的交点个数问题。

【例4】 函数f（x）=x2-2，x≤0，2x-6+lnx，x>0的零点个数是_____。

解析：当x≤0时，由x2-2=0，得x1=-2，x2=2（舍去），所以f（x）在（-∞，0]上只有一个零点;当x>0时，因为f′（x）=2+1x>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2）=-2+ln2<0，f（3）=ln3>0，f（2）·f（3）<0，故f（x）在（0，+∞）上只有一个零点。综上，函数f（x）在R上有2个零点。

【例5】 函數f（x）=|log0.5x|-12x的零点个数为_____。

解析：由|log0.5x|-12x=0，得|log0.5x|=12x，

构造两个函数y1=|log0.5x|和y2=12x并作出它们的图像，

如图可知，两图像有2个交点，

故函数f（x）的零点个数为2个。

【例6】 设函数f（x）=lnx+mx，m∈R。讨论函数g（x）=f′（x）-x3的零点的个数。

解：由题设g（x）=f′（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0），

令g（x）=0，得m=-13x3+x（x>0）。

设φ（x）=-13x3+x（x>0），

则φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1），

当x∈（0，1）时，φ′（x）>0，φ（x）在（0，1）上单调递增;

当x∈（1，+∞）时，φ′（x）<0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减。

∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，

∴φ（x）的最大值为φ（1）=23。

又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图像（如图）。

y=φ（x）（x>0）的图像与直线y=m的交点个数即为函数g（x）的零点个数。

①当m≤0时，y=φ（x）（x>0）的图像与直线y=m有1个交点。

②当00）的图像与直线y=m有2个交点。

③当m=23时，y=φ（x）（x>0）的图像与直线y=m有1个交点。

④当m>23时，y=φ（x）（x>0）的图像与直线y=m无交点。

综上所述，当m>23时，函数g（x）无零点;

当m≤0或m=23时，函数g（x）有且只有一个零点;

当0

四、 根据函数零点的个数求参数范围

求解这类问题可以采用分离参数法，转化为求函数值域;也可以考虑结合图像，采用数形结合等方法解决。

【例7】 已知函数f（x）=x2+（m-1）x+1在区间（0，2）上有零点，求实数m的取值范围。

解：函数f（x）=x2+（m-1）x+1在区间（0，2）上有零点，转化为方程x2+（m-1）x+1=0在（0，2）上有解。方程等价变形为1-m=x+1x，容易求得y=x+1x在（0，2）上的值域是[2，+∞），

∴1-m≥2，解得m≤-1，

故实数m的取值范围是（-∞，-1]。

【例8】 已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+e2x（x>0）。

（1）若g（x）=m有零点，求m的取值范围;

（2）确定m的取值范围，使得函数h（x）=g（x）-f（x）有两个零点。

解：（1）∵g（x）=x+e2x≥2e2=2e（x>0），当且仅当x=e2x时取等号，∴当x=e时，g（x）有最小值2e。∴g（x）∈[2e，+∞）。即当m∈[2e，+∞）时，g（x）=m有零点。

（2）函数h（x）=g（x）-f（x）有两个零点，即g（x）-f（x）=0有两个相异实根，则函数g（x）与f（x）的图像有两个不同的交点。

如图，作出函数g（x）=x+e2x（x>0）的大致图像。

∵f（x）=-x2+2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2，

∴其对称轴为x=e，fmax（x）=m-1+e2。

若函数f（x）与g（x）的图像有两个交点，则m-1+e2>2e，即当m>-e2+2e+1时，函数h（x）=g（x）-f（x）有两个零点。∴m的取值范围是（-e2+2e+1，+∞）。

通过以上探讨，函数零点问题可以将函数、方程、图像有机联系在一起，充分运用化归思想，将较复杂的函数零点问题转化为简单的或直观的数学问题，培养和发展学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。

作者简介：

范立东，广东省梅州市，广东梅县东山中学。