AK-MCS中初始设计样本数量对可靠度计算的影响分析

2020-05-14赵少飞胡欣宇邢明源

华北科技学院学报 2020年1期

谢娟，赵少飞，胡欣宇，邢明源

(华北科技学院建筑工程学院，北京东燕郊 065201)

0 引言

近几年来，AK-MCS方法由于采用较少的样本数量能够高效地评估失效概率的优势，而在土木工程可靠度分析中越来越受到关注[1-5]，但在以往的研究中，基于AK-MCS方法进行可靠度分析时，仅选取较少初始样本数量来计算对应的响应值，进而建立Kriging模型进行可靠度计算。研究初始样本数量的选取对可靠度计算精度的影响还没有文献报道。Jiang等[6]建议初始样本数量与随机变量个数的关系按照经验取值。谢延敏等[7]在其基于Kriging法计算可靠度分析中提到，Kriging预测值与函数精确值之间的误差，主要取决于初始样本实验设计(DOE)，即初始样本数量及抽取方法，而与Kriging模型的函数类型关系不大。孙志礼等[8]在其可靠度分析研究中指出，初始样本在Kriging模型的预测过程中发挥着重要的作用，并对功能函数预测精度具有一定的影响。若初始样本数量较少会影响初始Kriging模型的预测精度，而数量较多又可能在主动学习时增加样本数量的调用次数。故研究选取适当的初始样本数量对AK-MCS方法评估失效概率精读具有重要的意义，在土木工程中，由于功能函数往往较为复杂，在进行可靠度分析时，计算本身需要相对大的工作量，如果找出初始样本数量对计算可靠度精读的影响规律，将能有效的提高计算效率，这对工程可靠度分析具有重要的意义。

在土木工程的可靠度分析中，研究的随机变量很多情况下为2个[3，9，10]，本文围绕随机变量为2个时不同初始样数量对失效概率评估精度的影响，并进行对比分析与案例验算。

1 AK-MCS方法

AK-MCS方法是将Kriging与Monte Carlo结合的一种主动学习方法，该方法能够对接近极限状态的点进行评估，从而提高初始kriging模型的预测精度，最重要的是，它能够将注意力集中在概率密度足够高的点上，从而对失败概率产生显著影响。该方法同时给出了失效概率及其变异系数的Kriging估计，利用学习函数寻找下一个最佳样本点从而进行评估，而不需要对整个Monte Carlo总体进行繁琐的估计，这种学习方法进行的模型评估精度较高，而且大大降低了迭代次数。但这种方法研究可靠度时主动学习的效率取决于学习函数的选取，Echard等[4]在提出这种方法时表明U函数更适合作为AK-MCS方法的学习函数进行主动学习，故本文选用U函数作为主动学习函数进行研究，AK-MCS方法基本步骤如下[4]：

(1) 基于随机变量的分布生成NMC个随机样本，用SMC表示，称为候选样本点，候选样本只有在主动学习时才计算功能函数。

(2) 利用拉丁超立方法进行实验设计，生成初始的N1个样本点，分别选取随机变量的2倍、3倍、4倍、5倍数量的试验样本点进行研究。这些样本点用SDoE表示。

(3) 利用SDoE和实际功能函数计算响应值，用YDoE表示。基于SDoE和YDoE利用MATLAB软件的DACE工具箱建立Kriging预测模型，并利用工具箱中的预测函数估计候选样本总体SMC所有样本点的预测值和方差。最后利用公式(1)(2)分别计算其失效概率Pf和变异系数COV(Pf)。

(1)

(2)

(4) 根据公式(3)计算出总体SMC中所有样本点对应的学习函数值U(xi)值。

(3)

(5) 根据学习停止条件选择下一个最佳样本点，即U(xi)值最小值对应的样本点，这是因为U(xi)越小，就可能有两种情况出现，一种是在这一点上的预测方差较大，另一种是这一点的预测值很小，即这一点有极大的可能接近极限状态面，若将这一点加入样本，将会提高Kriging模型的预测精度，故将这一样本点定义为下一个最佳样本点，将最佳样本点加入初始样本点中，重复步骤(3)(4)，直到Umin≥2停止学习。

(6) 根据式(1)和式(2)，利用最终的Kriging预测模型计算失效概率Pf和变异系数COV(Pf)。如果变异系数COV(Pf)≤5%，主动学习停止，认为结果可以接受。如果不满足，则增加Monte Carlo候选样本的数量，转到步骤(3)计算，直到满足条件。流程图如图1所示。

图1 AK-MCS法计算流程图

2 算例分析

为了分析AK-MCS方法中初始样本点数量变化计算结果的影响，通过一个岩土边坡算例[7]进行对比分析，并结合一个结构可靠度功能函数算例[1]进行了验证。

2.1 算例

选取文献[11]中一边坡示例，黏聚力c和摩擦角φ为随机变量，2个随机变量独立且服从正态分布。其他变量为确定性参数。功能函数化解结果如下式。随机变量分布如表1。

G(c，φ)=5c+tanφ-1 (4)

为了进行对比研究，利用Monte Carlo法，进行104次抽样计算其失效概率作为对比研究的基准。根据DACE算法[12]编制MATLAB程序，首先利用拉丁超立方法选择随机变量的2倍、3倍、4倍、5倍，即4、6、8、10个初始样本点，分别建立Kriging模型，进行主动学习，直到达到学习停止条件。为了更好的反应主动学习过程中，初始样本点和增加样本对计算结果的影响，分别建立4种条件下增加样本点数与Pf和学习函数最小值Umin的关系图，如图2所示。

图2 Pf和Umin与增加样本点个数的关系

图2 Pf和Umin与增加样本点个数的关系(续)

由图2可以看出，样本点增加到一定个数时，失效概率的值趋于收敛，同时学习函数最小值趋于大于2，这就意味着预测结果趋于稳定，但是当初始样本点的数量为随机变量的2倍、3倍、4倍时，学习第一次的失效概率，这里定义为初始失效概率，与学习停止后的失效概率相差较大，也就是说初始样本点的数量选用这三种数量时，对初始的Kriging模型的预测精度相对不高，而初始样本点的数量为随机变量的5倍时，初始的失效概率与最终的失效概率相差较较小，具体的精度对比结果如表2所示。可以定量看出当初始样本点为随机变量的5倍时，初始的失效概率与最终的失效概率相对误差最小，这也说明这个条件下将对初始模型的拟合具有较好的精度。

表2 初始失效概率与最终失效概率的对比图

将4种状况下的失效概率与Monte Carlo模拟的结果进行对比，对比结果如表3所示。

表3 算例计算结果

由对比数据可知，选取的初始样本点的多少对需要总样本点的数量影响不大，也就是对功能函数调用次数影响不大，基本相同，但不同的初始样本点计算失效概率需要增加的样本点个数不同，较小的初始样本点需要的增加的样本点相对较多，同时也对评估失效概率的精度具有一定的影响，当初始样本点取10个即随机变量的5倍的时候，失效概率的评估精度最高。针对以上研究结论，进行一下算例验证。