基于S变换与奇异值分解的大型起重机减速箱故障信号降噪方法

沈科宇，严华，申雨

（上海振华重工（集团）股份有限公司，上海200125）

减速箱作为港口起重机进行装卸作业的主要动作机构，具有功率大、启停频繁、正反转切换频繁等特点。由于减速箱各零部件间存在力的交互，发生故障时，通常会在主故障的影响下引发相关部件的次生故障。例如齿面发生剥落现象，剥离物会随着润滑油液在减速箱内部循环，可能造成其他齿面或轴承的操作。因此单纯的理论分析方法可能对仿真信号或故障试验台模拟的信号均能取得较好的诊断效果，但在实际运用中就会受到噪声和多故障源相互干扰的影响，使诊断算法难以发挥应有的作用。本文提出一种基于S-T变换和SVD的信号降噪方法。通过S-T将时域信号向时频域转换，再用奇异值分解即SVD对转换后的时频矩阵进行分解，最后根据奇异值大小对信号进行去除噪声的处理并重新构造时域信号，以实现对信号滤除噪声的目的。

1 算法

1．1 S 变换（S-T）

S-T是Stockwell提出的时频分析算法，它是基于连续小波变换的一种信号时频转换算法。在频率较低的信号带中，由于高斯窗函数更宽且分辨率比Gabor变换的分辨率高，因此S-T更适合于对低频信号进行滤除噪声处理。经S-T后信号h(t)的时频矩阵为：

式中，v为频移参数。

基于连续小波变换的时频分析算法也就是S变换，在沿着时域信号时间轴方向有可积分性，积分后将可以得到针对原来时域频谱信号x(t)的积分频谱信号X（f）即此可以视为S变换的逆变换，其具体的推导如下：

利用高斯窗所包含面积等于1的特性：

需要注意的是，由于在时频分析变换过程中没有引入窗口函数，导致傅里叶变换后信号的还原度不高，信号频谱失真的程度较大。针对此缺点，STFT引入窗口函数以期解决无窗口函数导致变换后信号噪声过多失真的缺点，但引入的窗口函数的宽度是固定的，这使得对于信号中的低频信号部分，STFT转换后信号丢失的信息较多，使得最后得到的结果信号频率分辨率较低，失真程度较大；同理，转换过程中宽度不随频率高低变换的窗口函数，对于信号中的高频分量转换后的噪声也较多，使得信号失真程度较大，而S函数的窗口函数是高斯函数，高斯窗函数的显著特点就是宽度随信号频率而变化，根据频率高低变换窗口函数宽度大小，这使得无论是对于信号中的高频部分还是低频部分，S变换过滤后的信号相较以上两种方法都更为准确，原信号的损伤较小。从S变换的表达式（1）也可以看出，在频谱信号较低频域带时，S-T变换中高斯窗函数的宽度大于高频域时的窗口函数宽度，所以使得低频时信号的频率分辨率较高；而在频谱信号较高频域带时，高斯窗口函数的宽度则较小，能较好地滤除高频信号中的噪声，提高高频时信号的分辨率。综上所述，与基于傅里叶变换的短时傅里叶变换与傅里叶变换两种信号处理方法相比较，S变换及其逆变换后得到的时域频谱信号具有高分辨率和信号信息无损性较高的特点，转换后得到的信号准确性高。

S变换作为一种基于特定基本小波的小波变换，结合相位校正，可以与经典的傅立叶变换相结合。也正因如此，S变换结合了两者的特点，具有小波变换与傅里叶变换具有的线性关系和可逆性，与此同时也可与快速傅立叶变换结合进行相关运算，以实现提高频谱信号转换效率的目的，尤其对复杂信号的转换来说，保存原有信号的信息量相较于其他方法更多，故与傅立叶变换和短时傅立叶变换相比，S变换具有可逆性和多分辨率的优点，使得S变换后的信号损伤成为时频处理领域的一种优越方法。

1．2 奇异值分解（SVD）

奇异值分解（SVD）是一种在数学领域的矩阵理论中具有重要数理意义和广泛应用的对矩阵的分解方法。它无论是在矩阵理论研究还是在工程信号领域的分析与统计研究中都具有很重要的应用研究价值。

奇异值分解（SVD）的数学定理为对于一个实矩阵S（n ×m)，其秩为p(p≤min(n,m))，则必存在一个正交阵U（n×n)和V(m×m)使得称为原矩阵S的非零奇异值，并且有表达式S=UWVT称为S的奇异值分解式。

在矩阵S的SVD分解中S=UWVT，U列构成与S正交的一组输入或分析基向量。V列则成为对S正交输出的一组基向量。A矩阵对角线上的元素称为该矩阵的奇异值，可以视为对输入和输出之间的标量控制系数也就是U和V的列向量。

用SVD分解方法去除信号噪声的具体步骤为：（1）构造重构矩阵A；（2）对A进行奇异值分解；（3）确定有效阶次；（4）信号还原。

对于以上给定的奇异值矩阵如果其秩为r,那么其SVD为

以下引出一个数学引理，此引理是奇异值分解去除信号噪声的其中一个理论依据。

引理1设A∈Rm×n,m×n=N,rank(A) =r则A的奇异值分解为：

综上所述再依据矩阵理论中对于F范数的数学定义，可知在空间R中A矩阵的一个最佳逼近为

引理1给出了矩阵降秩的计算方法。该方法是利用奇异值较大的矩阵来实现的。在处理信号时，滤波信号的形成也采取同样的原理，通过使用较大的奇异值来实现。因此，SVD滤波方法不仅可以消除噪声，而且可以保证原始信号的逼近功能。

因此奇异值分解处理信号数据的主要特点就是保留奇异值较大的对应矩阵的信号，放弃奇异值较小矩阵对应的信号也就是噪声，能够又能最大程度地保留原始信号的主要信息，使分解处理后的信号真实性提升，损伤减小，这也是采用奇异值分解减少信号噪声的基本原理。

2 实测信号降噪处理

2．1 样本基本情况

取得样本的减速箱为岸边集装箱起重机起升机构4:1缩小尺寸试验台，采集硬件配置列于表1：

表1

试验时，振动加速度传感器安装于高速轴轴承支座上，传感器中心线正对轴心且与径向重合。样本采集了试验台高速轴轴承外圈预制故障情况下的振动信号1024点作为原始样本，原始样本中含有少量本底噪声。在原始样本中添加随机Gaussian白噪声模拟干扰环境，噪声为线性幅值0.25W。图1(a)为原始信号，图1(b)为添加噪声的信号。

图1 输入信号时域波形

2．2 降噪处理过程

第一步：将图1(b)的信号作为输入信号h(t)，经S-T求出它的时频矩阵，其时频谱如图2。从时频谱中可以看出，振动冲击主要集中在3000～4000Hz频段。

图2 信号h(t)的时频谱

第二步：采用SVD对第一步得到的时频矩阵进行分解并将求取的奇异值按由大到小进行排序。根据奇异值分解的特点，随着奇异值的减小，其存储的信号信息也越来越少。根据图3(a)显示，第200个以后的奇异值变化已经十分平缓。因此选取前200个奇异值求其差分，并将奇异值差分谱示于图3(b)。从差分谱可看到第70个奇异值后的变化已很微小，因此可将奇异阈值设为70。

图3 信号h(t)时频矩阵的SVD谱和差分谱

第三步：将大于阈值的奇异值置为零，重新构造信号h(t)的时频矩阵，再对构造时频矩阵求其S-T逆变换，即可得到降噪后的信号h‘(t)，其时域波形如图4所示。

图4 经降噪处理后的信号

从图4可以看到，信号经降噪处理后不仅滤除了添加的噪声信号，甚至还有效的抑制了本底噪声，进一步提升了信号的信噪比。

3 结语

本文选用S变换将信号从时域向时频域转换，同时利用其具有的无损逆变换特性来将重构的时频矩阵变回时域信号，从而在时频域中实现对信号噪声的处理。

在时频域中，利用SVD差分谱确定信号的奇异阈值，通过将大于阈值点的奇异值强制置零的方法生成新的奇异矩阵，并重构时频矩阵。

从实验数据来看，通过S-T和SVD组合算法对于大型起重机的减速箱故障信号具有良好的降噪效果，能有效的提高信噪比。