广义相对论的应用：黑洞的霍金辐射

罗中华

（西华师范大学，物理与空间科学学院，四川 南充637009）

两位物理学家（S.玻尔穆特与B.史密特）远在1998 年，曾提出宇宙正在以高速形态膨胀的观点[1]，这种膨胀形式会形成暗能量，此举令全世界学者震撼。在2003 年，微波背景各向异性探测器天文观测仪器精准的测量出了宇宙学参数A，其结果在一定程度上验证了宇宙大体包括23%的暗物质与77%左右的暗能量这一理论[2]。此科研理论具有重大意义，所以在当年该观测成果就被杂志《science》评选位列十大科学排行榜上的第一名。暗物质和暗能量逐渐成为热门研究对象，探索时空本质具有重大的意义。广义相对论理论认为天体就是一个黑洞。爱因斯坦[3]也提到时间和空间会因为物质存在产生弯曲现象。而黑洞所产生的引力场因其质量增大而增大，从而表现出任何物质都会被困入其中，难以逃脱。这几十年以来，理论物理学家们重点开展了黑洞的热力学研究工作，希望深入了解黑洞的量子特性。

本文就前人对具有Quintessence 背景的Schwarzschild 黑洞（Quintessence 黑洞）的量子隧穿过程和痕迹分析成果进行进一步总结和分享，具有一定的理论意义。

1 黑洞热力学四定律

20 世纪70 年代初期，有物理学家B，Carter 和D.C.Robinson[4]认为，无论是什么黑洞，它的总质量M，总角动量J 和总电荷Q 三个基本量都可以决定其最终性质。黑洞的无毛定理由此产生。在之后的研究过程中，物理学家以普通热力学四定律为基础，得到了黑洞热力学四定律：黑洞热力学第零定律，第一定律，第二定律，第三定律。

黑洞的第零定律：指稳态黑洞界面上表面重力k 是一成不变的常数，其揭示的本质含义是处于热平衡系统的各个点温度都是一样的。

黑洞的第一定律：指黑洞的总质量M，总角动量J，总电荷量Q 等参数一直波动，类比于热力学第一定律，在此状况下满足能量守恒关系

黑洞第二定律：指黑洞面积永远不会比之前的面积小。（顺时针方向）δA≥0

黑洞第三定律：指无法通过有限次数的操作把黑洞视界位置的表面重力k 值降低到零。

2 Quintessence 黑洞 量子隧穿效应

在20 世纪70 年代早期，霍金[5]由计算发现黑洞的热辐射，并且能将温度的表达式计算出来。两年以后，霍金再次提出，这种纯热辐射没有任何信息。黑洞所携带的任何信息会随着黑洞的蒸发而丧失。

显然，此结论有悖量子力学基本理论。在2000 年，黑洞无质量粒子的量子隧穿辐射被毛利克帕里克[6]和弗兰克威尔泽克[7]两位学者利用量子隧穿方法去研究。结果发现黑洞的霍金辐射并非纯热谱。因此弥补了霍金辐射的不足，并提及由于自重而提供了量子隧穿势垒。

于是，大家便尝试着通过量子隧穿方法计算Schwarzschild黑洞的熵校正并得出黑洞残骸的表达式。

2.1Quintessence 黑洞

Quintessence 隶属于暗能量模型 Kiselev 计算出了著名的度规公式，其中状态参数满足条件-1

黑洞的视界半径由下式制约：

ε 约等于0，之后计算得出了公式

把（5）代入（4）式后，Quintessence 黑洞视界半径如下

若要想分析Quintessence 黑洞量子隧穿轨迹，务必要将视界处坐标奇异性影响排除。所以我们进行Painleve 坐标变换。

其微分形式是

所以线元（2）式可化为

将dr2 之前系数定为1，得到

因此我们得出了以下公式

此公式是Quintessence 黑洞的时空线公式

入射粒子的背景时空线元[8]选定“-”号去匹配,出射粒子的背景时空线元选定“+”号去相匹配。据此，径向类光测地线方程如下：

（13）的正负号各自代表类光粒子射入与射出类光测地线

2.2 黑洞事件视界处的势全贯穿

依据能量守恒定律，当把时空的总能量固定住并且可以使得黑洞上升和下降时，此刻的黑洞时空线元如下式所示

考虑自引力效应，得出类光出射测地线方程

基于WKB 法则，作用量虚部S 跟粒子贯穿势垒发生概率的大小两者之间具有如下关系

在此把ri，rf 看作势垒中的转折点，粒子能量大小决定了势垒转折点之间的距离间隔。因为积分计算过于复杂，此刻我们务必把Hamilton 方程考虑在内：

由于辐射后，H=M-ω，所以dH=d（-ω'）

结合（16）

先对ω 积分，令u=2（M-ω'），则du=-2dω'于是有

再对r 积分，可得

从而有

因此粒子的出射率可表示成以下公式

以上公式达到了幺正性的要求

2.3 宇宙视界处的势垒贯穿

如果在宇宙视界内出现了隧道效应,粒子质量将从M增加到M+。考虑到能量守恒，将得到宇宙视界入射能量ω'粒子的时空线元

与（20）式和（21）式类似，可得

出射率如下式

Schwarzschild 黑洞量子隧穿出射率可用（29）式表示

由黑洞的霍金辐射机理可知[9]，黑洞在时时刻刻向外辐射能量。在满足能量守恒定律时，由（16）式可知，作用量虚部S 跟粒子贯穿势垒发生概率Γ 的大小两者之间满足

Γ（ωT）代表黑洞辐射一个质量为ωT的粒子的隧穿几率

ΔST=ST-s（未辐射粒子前黑洞的熵），可得Γ（ωT）-eΔstΓ（ω1）代表黑洞辐射一个质量为ω1的粒子隧穿几率，同理ΔS1=S1-S 但在辐射一个质量为ω1的粒子后，接连着辐射另一个质量为ω2粒子，此时隧穿几率记为Γ（ω2|ω1），令其熵变为ΔS2=S2-S1可得Γ（ω2|ω1）～eΔS2；把黑洞在视界处辐射一个质量为ω1的粒子之后再辐射另一个质量为ω2的粒子总过程的隧穿几率记为Γ（ω1|ω2）其熵变为ΔS12=S2-S1得Γ（ω1|ω2）-eAs12那么根据能量守恒和熵守恒，AωT=ΔS12=ΔS1+ΔS2ωT=ω1+ω2则有

这个关系即为“一毛”假设公式。推广到众多粒子，

假定这么一个过程，黑洞蒸发进程中的所有熵都是以持续辐射发射的方式消失，故依照能量守恒，熵守恒定律[10]，存在这样的关系

粒子在隧穿的过程中时，有式

粒子穿越视界出射率可用如下公式表示（Quintessence 黑洞量子隧穿历程）

于是得到Quintessence 黑洞的嫡表达式为

因此Quintessence 黑洞量子隧穿几率大小如下所示

设rh为黑洞的视界半径，在辐射质量为ω1粒子过后，黑洞的视界半径变发生变动，变换成r1。

粒子的隧穿几率如下

同理

公式中的rc 表示黑洞遗迹半径。把式（39）代入到（33）式中去，可计算出黑洞的辐射进程损失总熵

在上文计算中，我们做了这么一个假定，即黑洞残留物是确实存在的，那么如果黑洞残留物没有存在，则Mc=0，rc=0，（32）式和（40）式的熵是发散的。

给出了通过对数校正获得隧穿概率的可能性，以获得黑洞残迹的存在[11]，并且把黑洞的“零点”能量用M来表示。式（40）可以如下变换；

由此看出黑洞视界处的熵和黑洞遗迹熵两者相加得到了黑洞损失的总熵值

3 结论

本文借助 Parikh-Wilczek 的量子隧穿方法来对Quintessence 黑洞的量子隧穿过程进行研究，来得出Quintessence 黑洞熵的表达式。这也表明黑洞的霍金辐射是非纯热谱并且是向外辐射的[12]。Schwarzschild 黑洞的熵校便是通过此方法计算得出。

本文也借助文献讨论了Quintessence 黑洞的蒸发速率[13]，进行了关于黑洞熵的对数校正，显示黑洞不会完全蒸发。最终探讨Schwarzschild 黑洞的熵是受到Quintessence 的暗能量影响程度。

Quintessence 黑洞视界半径如下：

黑洞在辐射进程中损失的总熵如下式：

在此基础上把（42）中的结果带到（43），可得到

这样就可以得到Quintessence 暗能量对Schwarzschild 黑洞熵所做的贡献