2020年高考理科数学模拟试题
2020-05-11许少华
许少华
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A= {x│-2 A. （0， 2） B. （-2， 4） C. （-2， 0）∪（2， 4） D. （-2， 0]∪[2， 4） 2. 已知复数z1=2+i， z1·z2 =2-i，则复数z2的共轭复数为 （） A. ■+■i B. -■-■i C. ■-■i D. -■+■i 3. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+log2（x2+1）+a （a为常数），则f（1）=（） A. ■B. 1C. -1D. -■ 4. 据统计中国人民政治协商会议第十二届全国委员会到会委员有1500名，从中抽取150名对他们的年龄进行统计，其频率分布直方图如图，其中年龄在[30，40）的委员人数为30人，则估计年龄在[60，80）之间的委员人数为（） A. 150 B. 200 C. 225 D. 250 5. 已知雙曲线C ∶ ■-■=1（a>0，b>0）的焦距为2c，焦点到双曲线的渐近线的距离为■，则双曲线C的离心率为（） A. 2 B. 3 C. ■ D. ■ 6. 若？琢为锐角，且cos（+■）=■，则sin（+■）=（） A. ■B. ■C. ■D. ■ 7. 如图所示，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（） A. 点H是△A1BD的垂心 B. AH垂直于平面CB1D1 C. AH的延长线经过点C1 D. 直线AH和BB1所成角为45° 8. 若△ABC的三边长a，b，c满足a=4sinB，sin2AsinC=■且，则△ABC的面积为（） A. ■ B. ■ C. 25 D. 24 9. 如图，ABCD为等腰梯形，若CD=■AB=4，且梯形面积为20，当E为BC中点，F，G分别为DA的三等分点时，■·■ 的值为 （） A. -■B. -■ C. -■D. -■ 10. 已知函数f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，<■）， 在一个周期内的图像如右图所示，函数f（x）的图像向右平移■后得到g（x）的图像，则g（x）的一个单调区间为 （） A. （0，■） B. （■，■） C. （-■，■）D.（-■，■） 11. 抛物线y=2x2一条弦的垂直平分线l的斜率为2，则l在y轴上截距的取值范围为（） A. （■，+∞）B.（■，+∞） C. （■，+∞）D.（■，+∞） 12. 若函数f（x）=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（2a+1）x在（-■，0）上单调递增，则a的取值范围为（） A. [-1，■]B. [-1，■]C. [-1，■]D. [-■，1] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.（1+x）3（1+■）3的展开式中，含■的项的系数是_______. 14. 设点P（x， y）满足：x+y-3≤0，x-y+1≥0，x≥1，y≥1，则■的取值范围是_______. 15. 已知A、B、C、D四点在半径为■的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=■，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是_______. 16. 点P（2，2），圆C ∶ x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A， B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. 若OP=OM，则△POM的面积为_______. 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列{an}的前 n项和为Sn，满足S6=■且a2， a4， a3成等差数列. （1）求等比数列 {an} 的通项公式. （2）设数列{bn}满足bn=nan，求数列{bn}的前n项和为Tn . 18.（本小题满分12分）在三棱锥A-BCD中，AB=AD=BD=2，BC=DC=■，AC=2. （1）求证：面ABD⊥面BCD; （2）点P 在AC上，若二面角P-BD-A为60°，求■的值. 19.（本小题满分12分）张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1， L2两条路线（如图），L1 路线上有A1， A2， A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为■;L2路线上有B1， B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为■，■.
（1）若走L1 路线，求最多遇到1次红灯的概率;
（2）若走L2 路线，求遇到红灯次数X的数学期望;
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.
20.（本小题满分12分）已知■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=2■，点P在椭圆上，tan∠PF2F1 =2且△PF1F2的面积为4.
（1）求椭圆的方程.
（2）点B（1，■）是椭圆上的一定点，B1， B2是椭圆上的两动点，且直线BB1与BB2关于直线x=1对称，试证：直线B1B2的斜率为定值.
21.（本小题满分12分）函数f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.
（1）求此平行线的距离;
（2）若存在x使不等式■>■成立，求实数m的取值范围;
（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差. 求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1：x=cos？兹，y=sin？兹（？兹为参数），曲线C2：
x=■t-■，y=■（t為参数）.
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′， C2′. 写出C1′， C2′的参数方程. C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.
23. 选修4-5：不等式选讲
对于函数f（x）= ax2+bx+c
（1）若f（x）>0的解集为{x│1
（2）若在x=-1， 0， 1三点处的函数值的绝对值均不大于1，则x∈[-1， 1]时，求证：ax+b≤2.
2020年全国高考理科数学模拟试题参考答案
一、选择题
1. D. A={x│-2 2. A. 由z1=2+i，z1·z2=2-i？圯z2=■=■-■i 所以，复数z2的共轭复数为■+■i . 3. D. 由f（x）为定义在R上的奇函数，可知f（0）=1+a = 0，∴ a=-1. 于是f（-1）=■+1-1=■，∴ f（1）=-■. 4. C. 年龄在[30，40）的委员人数为30人，所占频率为■=10b，所以b=0.02，根据频率分布直方图知（0.005+2a+0.015+0.02+0.04）×10=1，解得a=0.01，所以年龄在[60，80]之间的频率为（0.01+0.005）×10=0.15，估计年龄在[60，80]之间的委员人数为1500×0.15=225. 5. B. 不妨设右焦点F2（c，0），渐进线方程为l ∶ bx-ay=0，则点F2（c， 0）到l ∶ bx-ay=0的距离为■=b，则b=■？圯9b2=8c2？圯e=3. 6. A. 由cos（+■）=■？sin（+■）=■. 于是sin（+■）=2sin（+■）cos（+■）=2×■×■=■. cos（+■）= cos2（+■）-sin2（+■）=■， sin（+■）=sin[（+■）-■]=sin（+■）cos■-cos（+■）sin■=■. 7. C. 在A中，△A1BD为等边三角形，所以三心合一.∵AB=AA1=AD，∴ H到△A1BD各顶点的距离相等，即H为外心垂心，∴ A正确;∵CD1∥BA1 ，CB1∥DA1，CD1∩CB1=C，∴平面CD1B1∥平面A1BD. ∴ AH⊥平面CB1D1，∴ B正确;连AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴ AC1⊥BD同理AC1⊥BA1. ∴ AC1⊥平面A1BD. ∴ A、H、C1三点共线，∴ C正确. 8. B. 由a2=abcos C+bccosA？圯a2=ab·■+bc·■， 得a=b？圯sinA=sinB. 由a=4sinB 2RsinA=4sinB 2RsinA=4sinA R=2. sin2AsinC=■ sinAsinBsinC=■. 那么△ABC的面积S=■absinC=■（2RsinA）（2RsinB）sinC=2×22×■=■. 9. C. 由CD=■AB=4及面积为20可得梯形的高为4. 以AB为x轴，AB的中垂线为y建立直角坐标系，则A（-3， 0），B（3， 0），E（■， 2），G（-■， ■），F（-■， ■）. 那么■=（-■，■），■=（■，■），于是■·■=-■×■+■×■=-■. 10. C. 由图像知A=2，T= 4[■-（-■）]=4 ， 那么■= 4 ， =■，所以f（x）=2sin（■+ ）. 又由f（-■）=0，即2sin（-■+ ）=0结合 <■，得 =■.
即f（x）=2sin（■+■）， 而g（x）=2sin[■（x-■）+■]=2sin■.
由2k -■≤■≤2k +■ 4k - ≤x≤4k + ，结合选项可得C.
11. D. 设弦两端点分别为A（x1， y1），B（x2， y2），l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b;过点A、B的直线方程可写为y=-■x+m，所以x1， y2满足方程2x2+■x-m=0，得x1+x2=-■，A、 B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式△=■+8m>0，即m>-■;设AB的中点N的坐标为（x0，y0），则x0 =-■，y0 =-■x0+m=■+m.
由于N∈l，得■+m=-■+b，于是b=■+m>■-■=■.
12. D. 由于f ′（x）=-2sin2x+3a（cosx+sinx）+2a+1
=-2（cosx+sinx）2+3a（cosx+sinx）+2a+3≥0恒成立.
由于cosx+sinx=■sin（x+■），因為x∈（-■，0），得-1≤cosx+sinx≤1.
令g（t）=-2t2+3at+2a+3（-1≤t≤1），欲使g（t）≥0恒成立，只需 g（-1）≥0，g（1）≥0，即-2（-1）2+3a×（-1）+2a+3≥0，-2+3a+2a+3≥0 -■≤a≤1
二、填空题
13. 15. （1+x）3（1+■）3=（1+3x+3x2+x3）（1+■+■+■），其中含■项是1×■+3x×■+3x2×■=■. 故（1+x）3（1+■）3的展开式中含■的项的系数是15.
14.[-■，■]. 不等式组x+y-3≤0，x-y+1≥0，x≥1，y≥1所以表示平面区域，如图，根据t的几何意义，t 值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然OA的斜率■最小，OB的斜率2最大，即■≤t≤2. 由于函数 f（t）=■-t在[■，2]上单调递减，故-■≤ f（t）≤■.
15. 20. 因为AC=BD=5，AD=BC=■，AB=CD，可以构造长方体，如图设该长方体的长、宽、高分别为x，y， z由已知可得：
x2+y2+z2=（5■）2，x2+y2=25，y2+z2=41
x2=9，y2=16 =xyzz2=25=3×4×5=60.
那么，三棱锥D-ABC的体积为VABCD =V-4×■xyz=60-40=20.
16. ■. 设M（x， y），则■⊥■，
于是（x， y-4）·（x-2， y-2）=0，即N ∶ （x-1）2+（y-3）2=2此为点M的轨迹方程 .
由于OP=OM，故O在线段PM的垂直平分线上. 又P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为■，故l的方程为y=-■x+■.
又OP=OM=2■，O到l的距离为■，PM=■，所以△POM的面积为■.
三、解答题
（一）必考题
17.（1）设数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意得S6 =■，a2+a3=2a4 ■ =■，a1q+a1q2=2a1q3 a1=3，q=-■.
从而an=a1qn-1 =3（-■）n-1.
（2）由（1）得bn= 3n（-■）n-1，
由Tn=3×（-■）0+3×2（-■）+3×3（-■）2+…+3n×（-■）n-1……（1）-■Tn=3×（-■）+3×2（-■）2+3×3（-■）3+…+3n×（-■）n……（2）
（1）-（2）得■Tn =3×（-■）0+3（-■）+3（-■）2+…+3（-■）n-1-3n×（-■）n.
整理得：Tn =■-（2n+■）（-■）n.
18.（1）取BD中点E，连接AE，CE，∵AB=AD=BD=2，又E为BD中点，∴ AE⊥BD，AE=■，
同理可得：CE⊥BD，CE=1.
于是角∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由于AC=2得AE2 +CE2 = AC2，
即∠AEC=90°，故面ABD⊥面BCD.
（2）∵ AB=AD=BD=2，BC=DC=■，
∴ △BCD为直角三角形，且AE=■，CE=1，
∴ AE2 +EC2 = AC2，∠AEC=■，即AE⊥EC.
又AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD，∴以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系. ∴ B（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A（0，0，■）.
设P（x0， y0， z0），■ = ■（0≤≤1），■（1，0，-■），■=（x0， y0， z0-■），∴（x0， y0， z0-■）= （1，0，-■）=（ ，0，-■ ），
∴x0 = ，y0 =0，z0 -■=-■ ，即x0= ，y0=0，z0=■-■ ，∴ P（？姿， 0， ■-■ ），
■ =（ ，1，■-■ ），■ =（0，2，0）.
设 ■=（x1， y1， z1）是平面BPD的法向量，
∴ ■·■ =0， ■·■ =0 x1+y1+（■-■ ）z1=0，2y1=0，令z1=■，得y1=0，x1=3-■，
∴ ■=（3-■， 0， ■）.
由于面PBD的法向量为 ■=（1， 0， 0），
∴cos？兹=cos< ■， ■>= ■=■ =■即■=■.
19. （1）设走L■路线最多遇到1次红灯为A事件，则：
P（A）=C 03×（■）3+C 13×■×（■）2=■.
所以走L■路线，最多遇到1次红灯的概率为■.
（2）依题意，知X的可能取值为0，1，2.
P（X=0）=（1-■）×（1-■）=■，
P（X=1）=■×（1-■）+（1-■）×■=■，
P（X=2）=■×■=■.
随机变量X的分布列：
∴ E（X）=■×0+■×1+■×2=■.
（3）设选择L■路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y B（3，■），所以E（Y）=3×■=■.
因為E（X） 20.（1）由tan∠PF2F1=2？圯sin∠PF2F1=■，cos∠PF2F1=■. 由题意得： ■×2■·PF2×■= 4，PF12=PF22+（2■）2-2·PF2×（2■）×■？圯 PF1= 4，PF2= 2. 从而2a=PF1+PF2=4+2=6？圯a=3，结合2c=2■，得b2=4. 故椭圆的方程为■+■=1. （2）设直线BB1的斜率为k，因为BB1与BB2关于直线x=1对称，所以BB2的斜率为-k，于是BB1的方程为y-■=k（x-1），再设B1（x1，y1），B2（x2，y2）. 由y-■= k（x-1），■+■=1？圯（4+9k2）x2+6k（4■-3k）x+9k2-24■k- 4=0，因为该方程有一根为x=1，于是x1=■. 同理可得x2=■. 而■=■=■=■=■=■为定值. 21.（1）由于 f ′（x）=aex，g ′（x）=■，y= f（x）的图像与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图像与坐标轴的交点为（a，0），由题意得 f ′（0）=g′（a），即a=■. 又∵a>0，∴a=1. ∴ f（x）=ex，g（x）=lnx，∴函数y=f（x）和y=g（x）的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0 ∴两平行切线间的距离为■. （4分） （2）由■>■得■>■，故m 令h（x）=x-■ex，则m 当x=0时，m<0; 当x>0时， ∵h′（x）=1-（■ex+■ex）=1-（■+■）ex， ∵x>0， ∴■+■≥2■=■，ex>1，∴（■+■）ex>■. 故h′（x）=1-（■+■）ex<0. 即h（x）= x-■ex在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴ m<0. 故实数m的取值范围为 （-∞， 0）. （3）∵函数y= f（x）和y= g（x）的偏差为：F（x）= ex-lnx，x∈（0， +∞）， ∴ F′（x）= ex-■，设x=x0为F′（x）= ex-■=0的解， 则当x∈（0， x0），F ′（x） < 0;当x∈（x0， +∞），F ′（x）> 0，∴ F（x）在（0， x0）单调递减，在（x0， +∞）单调递增. 故F′（1）= e-1>0，F′（0.5）=■-2<0 ∴■ 又■-■=0，故∴ Fmin（x）=■-lnx0=■+x0>2■， 即函数y= f（x）和y= g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2. （二）选考题 22.（Ⅰ）C1是圆，C2是直线. C1的普通方程为x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径r=1. C2的普通方程为x-y+■=0. 因为圆心C1到直线x-y+■=0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点. （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为： C1′： x=cos ，y=■sin （？兹为参数）;C2′： x=■t-■，y=■t（t为参数）. 化为普通方程为C1′：x2+4y2=1，C2′：y=■x+■，联立消元得2x2+2■x+1=0，其判别式△=（2■）2-4×2×1=0， 所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同. 23.（1）由于 f（x）>0的解集为{x│1 a<0，1+3=-■， 1×3=■■=-4，■=3，-■=2. 于是，不等式x-■+x+■>■即为x-3+x-4>2. 由x-3+x-4>2？圯x<■或x>■. 故不等式x-■+x+■+■>0的解集 {x│x<■或x>■}. （2）由 f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c， f（0）=c？圯 a=■[ f（1）+f（-1）]-f（0）， b=■[ f（1）-f（-1）]， c= f（0）. 则ax+b≤max{a+b，a-b} . 由a+b=■[ f（1）+f（-1）]- f（0）+■[ f（1）-f（-1）]≤f（1）- f（0）≤2. 同理a-b≤2. 故ax+b≤2. 责任编辑 徐国坚
