分类讨论思想在高中数学教学中的应用
2020-05-11陈家祥
陈家祥
【摘 要】本文论述分类讨论思想在高中数学教学中的应用：深入发掘教材内容，刻意渗透分类讨论思想;结合具体知识要点，实时应用分类讨论思想;科学合理划分类别，组织学生全面分析讨论;注重基础知识教学，深化分类讨论思想应用;提倡小组合作学习，促使学生主动分类讨论。
【关键词】高中数学 课堂教学 分类讨论思想
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2020）01B-0117-02
分类讨论思想属于数学中一种常用又重要的思想方法，它根据要求与特点将研究的知识或问题分成多个类别，转化成多个小项进行分析和解决，最后汇总结果，确保结果完整。教师在高中数学课堂教学中运用分类讨论思想时，可引导学生将复杂凌乱的数学知识或问题划分成多个明了清晰的小类别，以便全面理解与掌握，让他们形成科学严谨的学习意识与态度。
一、深入发掘教材内容，刻意渗透分类讨论思想
教材是任何学段和学科教学中的一切教学行为的基本依据，因此在高中数学课堂教学中，教师要想更好地运用分类讨论思想，首先要深入发掘教材内容，从中提取有关分类讨论思想的知识点，带领学生对知识进行类比划分，逐类讨论，以助他们全面理解数学知识。高中数学教师在课堂教学中应事先阅读与研究教材内容，刻意渗透分类讨论思想，为学生提供明确的分类对象，突破灌输式教学模式的限制，让他们在分类讨论思想指导下高效学习。
比如，在教学“空间几何体的结构”中讲到空间物体的类别时，教师可以有意识地运用分类讨论思想。在多媒体课件中出示以下图片：电线杆、方便面盒、吊线坠、一次性纸杯、螺母、台灯灯罩、足球、斗笠、水杯，以及秤砣、金字塔、瓦房屋顶、交通锥等，要求学生把这些物体分类。引导学生根据物体的结构特征把它们分成两类，引领他们概括共性，得出旋转体与多面体的定义。接着，教师组织学生分类讨论旋转体与多面体的不同之处和结构特征，使其发现旋转体是平面图围绕轴旋转所形成的封闭几何体;多面体则由面、棱、顶点构成，主要特征是有棱角。然后指导他们结合棱柱定义展开分类讨论，将棱柱分为直棱柱、斜棱柱、正棱柱三个类别。
针对上述案例，教师通过课件展示各种空间物体，引导学生根据几何结构特征进行分类讨论，增强他们对各种空间几何体的了解和认识，使其学会区分，使其观察能力得到有效锻炼。
二、结合具体知识要点，实时运用分类讨论思想
高中数学教学内容体系复杂、内容繁琐，涉及的范围更是广泛，不过并非所有知识要点都能渗透分类讨论思想，教师不能盲目或者随意运用，而是要有针对性地运用分类讨论思想，为学生提供新式学习思路，指导他们在分类讨论中逐步理解和掌握新知识。这就要求高中数学教师在课堂教学中，需要根据具体情况运用分类讨论思想。明确分类标准，使其按照不同情况找准分类方法，确保讨论内容不重复、不遗忘，以有利于他们准确理解新知识。
比如，在进行“集合”教学中，当讲到集合的分类时，依据集合所含元素个数不同，将集合分为以下几个类别：（1）不含任何元素的集合是空集 Ф，强调 0 并不是空集;（2）含有有限个元素的集合是有限集;（3）含有无穷个元素的集合是无限集。让学生分类讨论，按照集合的类别罗列一些相应的例子。比如，既是三角形又是平行四边形的集合是空集，x2=-2 也是一个空集;所有家庭成员、班内所有同学、高中阶段学习的所有学科等均是有限集;偶数、奇数、自然数、负数都是无限集合。讲到集合间的关系时，也可运用分类讨论思想，教师结合例题带领学生解读并集、交集、补集、全集和子集等概念，明确划分集合的分类标准，帮助他们深刻理解集合。
教师结合具体内容运用分类讨论思想，让学生全面掌握集合类型;列举相应例子，让学生更好地理解集合类型的划分标准，让他们初步了解元素与集合之间的从属关系。
三、科学合理划分类别，组织学生全面分析讨论
分类讨论思想的主要优势在于全面性和完整性，可以从若干个层面对知识或问题展开分析与讨论，保证思考行为的有序性与系统性。在高中数学课程教学中运用分类讨论思想时，教师应当和学生一起科学合理地划分类别，也就是说，根据分类对象与标准进行分类，并坚持分类讨论的以下几个原则：（1）每级分类按同一标准进行;（2）分类应逐级进行;（3）同级互斥、不得越级。组织他们全面分析与讨论，使其最终得出正确的结论或结果。
以“函数”教学为例，当学习完函数的概念后，教师出示例题。
〖例 1〗已知函数 ，求函数的定义域，以及 f（-3）和 的值;当 a>0 时，求 f（a），f（a-1）的值。
〖例 2〗已知一个矩形的周长是 80 厘米，其中一边长 x，求矩形面积关于 x 的函数解析式，写出定义域。
组织学生分析和解题，随后引领他们结合答案总结几类函数的定义域：①假如 f（x）是整式，函数的定义域是实数集 R;②假如 f（x）是分式，函数的定义域是使分母不等于零的实数集合;③假如 f（x）是二次分式，函数的定义域是使根号内式子大于或等于零的实数集合;④假如 f（x）由几个部分的数学式子构成，函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。
这样学生通过分类讨论和总结，知道函数定义域由问题实际背景确定。如果没明确定义域，那么函数的定义域指能使这个式子有意义的实数集，且值域要写成集合或区间形式。
四、注重基础知识教学，深化分类讨论思想应用
在高中數学教学过程中，部分定理、公式、概念等基础知识当中均蕴含分类讨论思想，这为分类讨论思想的应用带来良好契机。但部分高中生逻辑思维能力不强，他们在分类讨论中极易出现遗漏、重复等问题。原因是对基础知识掌握不够牢固，无法弄清分类情况，从而步入分类讨论的误区。这就要求高中数学教师高度重视基础知识的教学，借助分类讨论的优势引领学生分类讨论，辅助他们系统、牢固地掌握所学内容，深化分类讨论思想的应用。
例如，在“任意角的三角函数”教学实践中，当学生正确认识三角函数的定义域后，教师在多媒体课件中出示一个平面直角坐标系，以 O 为圆心画一个单位圆，标出点 A（1，0）为任意角 α 的一边，终边与单位圆相交于点 P（x，y）。组织学生分类讨论：① y 叫做 α 的正弦（sine），记做 sin α，即 sin α=y;② x 叫做 α 的余弦（cosine），记做 cos α，即 cos α=x;③ 叫做 α 的正切（tangent），记做 （x≠0）。搭配问题：在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点？函数值是什么？学生可能对三角函数自变量的认识存在问题，教师引领他们结合单位圆的几何意义解释正弦、余弦和正切的值域，并把 α 分为锐角、不是锐角、终边在 y 轴上几个类别讨论。
上述案例，教师在教学基础知识时，采用分类讨论思想，组织学生分类讨论角，使他们明白正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数。
五、提倡小组合作学习，促使学生主动分类讨论
高中生在数学学习过程中，面对部分难度较大的知识或问题时，仅仅凭借个人能力難以透彻、全面地理解。他们在独立学习或解题时通常出现考虑不够周全的情况，以至理解得不够全面。高中数学教师在课堂教学中运用分类讨论思想时要灵活调整，大力提倡小组合作学习方式，组织学生进行小组学习，让学生在小组内讨论、相互启发与补充，并尽量讨论到每一种情况，使其突破个人思维的局限性，体现小组合作学习的优势，以此提升整体学习效率，推动他们之间互动。
比如，在“数列的概念与简单表示法”的教学中，教师先引导学生观察教材 26 页的主题图，观察自然现象中出现的数的规律，让他们分组讨论数的规律，并观察 28 页的两幅图，使其在小组内讨论，引出数列的概念。接着，教师要求学生以小组为单位讨论生活中的数列实例，如银行利息、房贷、购买商品分期付款等，告知他们数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第几位就是第几项。之后，学生在小组内讨论数列的分类，先在组内总结，再在班内汇总结果，使其按照数列特点进行适当分类。例如，按照数列的项数分为有限数列与无穷数列;按照数列中数的大小特点分成递增数列、递减数列、常数列、摆动数列，然后说出教材中几种数列的类型。
在上述案例中，教师组织学生采用小组合作学习的方式，使其在讨论交流中找准、找全数列的几种分类，让他们初步理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
六、借助解题教学契机，实践运用分类讨论思想
解题教学作为高中数学教学中的重要一环，不仅可以检测学生对所学知识的掌握与应用情况，而且能够使他们发现个人的不足与缺陷，使其有目的性地改进和强化，同时也是分类讨论思想实践应用的机会。高中数学教师在具体的课堂实践中，应该精心设计解题训练，借助解题教学的契机引领学生运用分类讨论思想分析和处理问题，使其掌握分类讨论思想的应用方法与技巧，学会用来灵活解题，借此提高他们的解题水平与应用能力，并收获信心。
比如，在开展“不等式”教学时，当学生学习完教材内容后，教师可设置练习题：
设 0
在这里要先把原不等式进行适当转化，变成[（1-a）x-b][（1+a）x-b]>0。很明显，要对 a 与 1 之间的关系展开分类讨论。①当 a≤1 时，显然不符合题意，可舍弃;②当 a>1 时，，根据题意得知 ，要想让不等式的解集中刚好有 3 个正数，那么 ，整理可得 2a-2 上述案例，学生结合不等式的定义运用分类讨论思想解题，将较为复杂的问题分解成两个基础性问题，通过对基础性问题的解答求出正确答案，锻炼他们的应用意识与能力。 总而言之，分类讨论思想是一种相当重要的数学思想方法，在高中数学教学活动中，教师需把分类讨论思想科学应用至多个知识要点的讲解和习题训练中，指导学生高效学习，使其快速找到解题思路，提高他们的逻辑思维能力。 （责编 卢建龙）
