复杂网络边动态可控性研究综述

房聪

摘要：目前为止对复杂网络可控性的研究大都集中在复杂网络点动态系统上，本文研究了复杂网络边动态系统的可控性，将系统中的状态变量定义到边上，节点中的交换矩阵对应入边状态变量与出边状态变量之间的耦合关系，探究在网络边动态系统下的可控性研究。

关键词：复杂网络;边动态;可控性

中图分类号：O157.5 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2020）02-0077-01

0 引言

近年来，复杂网络被广泛的使用在了社会、生物、技术和金融等等系统中。如何控制复杂网络称为了一个具有挑战性的问题。根据控制理论，指通过有效输入，使得系统在一个有限时间内可以从任意给定的初始状态到达期望的最终状态，当对于给定的输入，能够实现这一控制目标，我们称系统为可控的[1]。

现有的大多数研究都集中在研究节点动力学上。但是，在许多现实世界中的网络，边缘动态也很重要。例如，在城市交通网络中，边缘代表通过信息传输信息的物理连接（例如公路和铁路）节点。节点（例如交叉路口）通过相应的边缘接收和发送火车与它连接。Nepusz和Vicsek通过点边互换的方法，将原来网络中的状态变量定义到边上，利用Liu等人的方法研究了动力学作用在边上的网络的结构可控问题，发现在复杂网络边动态系统下的可控性与点动态系统的可控性有本质的差别[2]，然后庞等扩展了有向和无向的边缘可控性。引起了很多人来探索复杂网络的边缘可控性[3]。

1 复杂网络边动态结构可控性

通过交换机动态来描述网络的边动态系统，将含有N个节点和M条边的有向图记为G（V，E），将状态向量x=（x1，x2，…xM）T对应有向图G的边集，其中每一个状态变量对应有向图中的一条边。对于网络中的任意节点v，其出边状态受到入边状态、自身阻尼和外部输入的影响，所以有：

（1）

其中yv+和yv-分别为节点v的出边状态向量和入边状态向量。Sv为交换矩阵，其行数和列数分别等于节点的出度kv+和入度kv-。τv为作用于出边状态上的阻尼项，表示两向量对应元素相乘。当σv=1时，出边状态会受到外部输入uv影响，此时称节点v为驱动点。交换机动态中节点如同交换机设备，接收来自入边的信号再将其加工并转发到出边上，加工和转发过程由节点内部的交换矩阵表示。公式（1）可以改写为一个线性时不变系统：

=（W-T）x+Hu                                      （2）

其中，W为状态矩阵，是有向图G的线图L（G）的邻接矩阵的转置矩阵，线图L（G）中的点对应其原图G中的边，线图L（G）中的边对应原图G中边的指向关系。T为阻尼矩阵，为对角矩阵，其对角元素上为对应每条边的阻尼项。

网络边动态系统结构可控所需驱动点的数量和位置是由节点的局部拓扑结构决定的。具体来说，网络中的节点分为发散点（kv+>kv-）、收敛点（kv+

2 复杂网络边动态严格可控性

根据严格可控性[4]，为了使边动态系统可控所需要的最少驱动节点数由其线图的邻接矩阵的特征根的最大几何重数决定的，即有：

ND=maxi{（μ（λi ）}                                  （3）

其中λi为状态矩阵W的特征值，（λi）为特征值的几何重数。当网络规模N足够大时，且网络中无自环或有少量自环时，其状态矩阵W的特征均值的期望约等于0，也就是说，其邻接矩阵具有最大的几何重数。所以，为了使系统到达结构可控所需要的最少驱动节点数为：

ND=max{1，M-rank（W）}                               （4）

外部输入通过驱动点来影響它的部分或者全部出边的状态，所以网络边动态系统驱动边的起点为驱动点，驱动边的数目为驱动点的出边数量减去入边数量。为了使边动态系统可控所需要的最少驱动边的数量为：

（5）

其中节点i为驱动点，C为网络中连通分支的数量。

3 结语

控制复杂网络系统的动力学行为是复杂科学的前沿问题，同时也是研究复杂网络系统的最终目标。当前对于复杂网络可控性的研究大都集中于复杂网络点动态系统中，而复杂网络边动态系统同样重要，可以代表许多现实生活中的网络，通过对复杂网络边动态可控性的研究，可以极大的丰富控制理论，并为以后的实际工程应用做下铺垫。

参考文献

[1] 袁正中.复杂网络系统的控制研究[D].北京：北京师范大学，2014.

[2] Nepusz，Tamás，Vicsek，Tamás.Controlling edge dynamics in complex networks[J].Nature Physics，2012，8（7）：568-573.

[3] Pang S P，Hao F，Wang W X.Robustness of controlling edge dynamics in complex networks against node failure[J].Physical Review E，2016，94（5）：052310.

[4] Ching-Tai Lin.Structural controllability[J].IEEE.TRANS.AUTOMATIC Control， 974，19（3）：201-208.

Review of  Research on Dynamic Controllability of  Complex Network Edges

FANG Cong

（College of  Electrical Engineering and Automation， Qilu University of  Technology， Jinan  Shandong  250353）

Abstract：Most of the research on controllability of complex networks has focused on the dynamic systems of complex network points. This paper studies the controllability of dynamic systems on the edges of complex networks. The state variables in the system are defined on the edges， and the switching matrix in the nodes corresponds to Coupling relationship between in-edge state variables and out-edge state variables， exploring the controllability research under the network-side dynamic system

Key words：complex network; edge dynamic; controllability